Problem 1
Jika diketahui {x} merupakan nilai pecahan dari x, misal {1,6}=0,6 ; {7,89}=0,89 ; {pi - 3} = pi - 3
Buktikan bahwa:
lim_n-->∞ {(2+√3)^n}=1
Solusi:
Perhatikan (2+V3)^n=C(n,0)2^n+C(n,1)2^(n-1).V3+...+C(n,n)(V3)^n (2-V3)^n=C(n,0)2^n-C(n,1)2^(n-1)V3+...+-(V3)^n
Perhatikan bahwa nilai desimal dari {V3+2)} terjadi pada saat C(n,1).2^(n-1).V3+C(n,3).2^(n-3).V3^3+...
Hal ini bersamaan dengan negatifnya nilai desimal dari (2-V3)^n, (2+V3)^n=k+x, k bagian bulat dan dan x bagian desimal Maka, (2-V3)^n=k-x, Sekarang kita dapatkan {(k+x)}=x, dan {(k-x)}=1-x, perhatikan bahwa
lim n-> tak hingga (2-V3)^n=0,
karena 0<2 -v3="-v3" mengakibatkan="mengakibatkan" p="p"> lim n->infinity {(2-V3)}^n=0, atau 1-x=0,
sehingga x=lim {(2+V3)^n}=1, Q.E.D
Problem 2
x+xy+xyz=12
y+yz+xyz=21
z+xz+xyz=30
berapa nilai (x+y+z) + xyz - x^z
Solusi:
x+xy+xyz=12.....(1)
y+yz+xyz=21.....(2)
z+xz+xyz=30......(3)
------------------+
x+y+z+xy+xz+yz+3xyz=63
x+y+z+xy+xz+yz+xyz+1+2xyz=64
(x+1)(y+1)(z+1)+2xyz=64
x+xy+xyz=12
xyz=12-x(y+1)
Sbstskan (y+1)(x+1)(z+1) +2(12-x(y+1)=64
(y+1)(x+1)(z+1)+24-2x(y+1)=64
(y+1)(x+1)(z+1)-2x(y+1)=40
(y+1){(x+1)(z+1)-2x}=40
(y+1){xz+x+z+1-2x}=40
(y+1){xz+z-x+1}=40
40=1*40; 2*20; 4*10; 5*8
Krn y≠0
(y+1){xz+z-x+1}=40
2 * 20 Shngga y=1
xz+z-x+1=20
xz+z=19+x......**
Sbstkan ** ke (3)
19+x+xyz=30 ,
y=1
x+ xz =11......***
Mskkan y=1 ke (1) shnnga x+x+xz =12
2x+xz=12
x+xz=11 ___________-
x=1 Mskkan x=1 ke ***
x+xz=11 1+z =11 z=10
(x+y+z) + xyz - x^z = (1+1+10) + 1.1.10 – 1^10 = 21
Problem 3
ab+c+d=2
bc+a+d=5
cd+a+b=3
da + b + c = 6
maka berapa nilai: a^b + c^d – abcd
Solusi:
Selesaikan persamaan simultan :
ab + c + d = 3,
bc + a + d = 5,
cd + a + b = 2,
da + b + c = 6
dengan a, b , c dan d adalah bilangan real.
(Sumber : British Mathematical Olympiad 2003/2004 Round 1)
Solusi :
ab + c + d = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
bc + a + d = 5 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
cd + a + b = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)
da + b + c = 6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)
(1) + (2) = (3) + (4)
ab + c + d + bc + a + d = cd + a + b + da + b + c b(a + c) + 2d = d(a + c) + 2b (b − d)(a + c) = 2(b − d) (b − d)(a + c − 2) = 0
b = d atau a + c = 2
• Jika b = d Persamaan (2) bc + a + b = 5
Persamaan (3) bc + a + b = 2
Kontradiksi maka tidak ada nilai a, b, c dan d yang memenuhi.
• Jika a + c = 2 (1) + (2) ab + bc + a + c + 2d = 8 b(a + c) + a + c + 2d = 8 b + d = 3 (2) + (3) bc + cd + 2a + b + d = 7 c(b + d) + 2a + b + d = 7 3c + 2a = 4 3c + 2(2 − c) = 4 c = 0 a = 2
Persamaan (2) b(0) + (2) + d = 5 d = 3 b = 3 − (3) = 0
(a, b, c, d) yang memenuhi adalah (2, 0, 0, 3)
maka:
a^b + c^d - abcd = 2^0 + 0^3 - 2.0.0.3 = 1
Problem 4
Misalkan a,b,c adl akar-akar yg berbeda dari persamaan x^3-x+1=0.
Nilai dari:
a^8(1+a^8)+b^8(1+b^8)+c^8(1+c^8) adalah ...
Solusi:
a^8 + b^8 + c^8 + a^16 + b^16 + c^16 = 10 + 90 = 100 ---
( a + b)^3 = a^3 +b^3 + 3(ab)(a + b) = a^3 - 1 + 3(-a)(a - 1)
= a^3 - 1 - 3a(a - 1) = a^3 - 1 - 3a^2 + 3a ---
a + b + c = 0
ab + bc + ac = - 1
abc = -1 ------
x^3 = x - 1
a^3 = a - 1 , a^2 = (a - 1)/a , a^6 = (a^2)^3 = ((a - 1)/a)^3 = (a -1)^3/a^3 = (a -1)^3 /(a - 1)
b^3 = b - 1 , b^2 = (b - 1)/b , b^6 = (b^2)^3 = ((b - 1)/b)^3 = (b -1)^3/b^3 = (b -1)^3 /(b - 1)
c^3 = c - 1 , c^2 = (c - 1)/c , c^6 = (c^2)^3 = ((c - 1)/c)^3 = (c -1)^3/c^3 = (c -1)^3 /(c - 1)
a^8 = a^6.a^2 = (a -1)^3 /(a - 1). (a - 1)/a = (a - 1)^3/a
b^8 = b^6.b^2 = (b -1)^3 /(b - 1). (b - 1)/b = (b - 1)^3/b
c^8 = c^6.c^2 = (c -1)^3 /(c - 1). (c - 1)/c = (c - 1)^3/c
a^8 + b^8 + c^8 = (a - 1)^3/a + (b - 1)^3/b + (c - 1)^3/c
= (bc(a - 1)^3 + ac(b - 1)^3 + ab(c - 1)^3)/abc
=(bc (a^3 - 3a^2 + 3a - 1) + ac(b^3 - 3b^2 + 3b - 1) + ab(c^3 - 3c^2 + 3c - 1))/abc
=(abc(a^2 - 3a + 3) - bc + abc(b^2 - 3b + 3 ) - ac + abc(c^2 - 3c + 3) - ab)/abc
=(-a² + 3a - 3 - bc - b² + 3b - 3 - ac - c² + 3c - 3 - ab)/(-1)
=(-(a² + b² + c²) + 3(a + b + c) - 9 - ( ac + ab + bc))/(-1)
= a² + b² + c² - 3.0 + 9 + ( -1)
= a² + b² + c² + 8
= (a + b + c)² - 2(ab + bc + ac) + 8
= 0 - 2(-1) + 8 = 10 ---
a^16 = (a^8)^2
= ((a - 1)^3/a)^2
= (a^3 - 3a^2 + 3a - 1)²/a²
= (a - 1 - 3a² + 3a - 1)²/a²
=(4a - 3a² - 2)²/a²
= 16a² + 9a^4 + 4 - 2.4a.3a² - 2.4a.2 + 2.3a².2
=(9a^4 + 16a² + 4 - 24a^3 -16a + 12a²)/a²
=(9a^4 - 24a^3 + 28a² - 16a + 4 )/a² a^16
= 9a² - 24a + 28 - 16/a + 4/a² b^16
= 9b² - 24b + 28 - 16/b + 4/b² c^16
= 9c² - 24c + 28 - 16/c + 4/c² ----
a^16 + b^16 + c^16 = 9a² - 24a + 28 - 16/a + 4/a² + 9b² - 24b + 28 - 16/b + 4/b² + 9c² - 24c + 28 - 16/c + 4/c²
= 9(a² + b² + c²) - 24(a + b + c) + 3.28 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 9((a + b + c)² - 2(ab + bc + ac)) - 24(a + b + c) + 3.28 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 9( 0 - 2(-1)) - 24(0) + 3.28 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 18 + 84 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 102 - 16(ab + bc + ac)/(abc) + 4(b²c² + a²b² + a²c²)/(abc)²
= 102 - 16(-1)/(-1) + 4(b²c² + a²b² + a²c²)/(-1)²
= 102 - 16 + 4(b²c² + a²b² + a²c²)
= 86 + 4((ab + bc + ac)² - 2b²ac - 2c²ab - 2a²bc)
= 86 + 4((ab + bc + ac)² - 2abc(a + b + c))
= 86 + 4((-1)² - 2(-1)(0))
= 86 + 4 = 90 ---
a^8 + b^8 + c^8 + a^16 + b^16 + c^16 = 10 + 90 = 100
Problem 5
Tentukan semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan yang lain hasilnya adalah 2.
Solusi:
X+yz = 2...(1)
Y+xz = 2...(2)
Z+xy = 2...(3)
Sulap 1 dan 2
(X-y)(z-1) = 0
Didapat x=y atau z=1
Sulap (2) dan (3)
(Y-z)(x-1)=0
Y=z dan x=1X=y=z
Subs X+x^2-2 = 0
(X+2)(x-1)=0
X=-2 atau x=1
Krn x=y=z jd solusinya:
(1,1,1),(-2,-2,-2)
Problem 6
ʃf(x) dx = ax² + bx + c , a≠0
jika a, f(a), 2b membentuk deret aritmatika dan f(b)=9. maka ʃ[0 s/d 1] f(x) dx adalah...
Solusi:
f(a) = 2a² +b.
jadi a, 2a²+b, 2b membntuk dert arit dg f(b) = 2ab+b = 9
beda = beda
2a² + b - a = b - 2a²
jadi 4a² = a
4a =1
a = 1/4 susi ke 2ab + b = 9 ketemu b = 6
ʃf(x) dx [dari 0 s/d 1] int (1/4).2.x + 6 ] = 1/4x² + 6x] dari 0-1 = 1/4 + 6
Problem 7
Berapakah sisa jika 1776^1492! dibagi 2000 ?
Solusi:
1776^1492! = 0 (mod 16)
1776^1492! = 16a . . . . (1)
1776^1492! = 1 (mod 125) . . . . (2)
16a = 1 (mod 125)
a = 86 (mod 125)
a= 125b + 86
masukkan ke persamaan (1) :
1776^1492! = 16(125b+86)
1776^1492! = 2000b +1376
1776^1492! = 1376 (mod 2000)
Problem 8
Show that 5x^4 - 4x + 1 has a root between 0 and 1
Solusi:
misalkan f(x) = x^5 - 2x^2 + x
f'(x) = 5x^4 - 4x + 1
f(0) = 0
f(1) = 1-2-1 = 0
Menurut teorema Rolle, karena f kontinu dan f(a)=f(b), terdapat suatu c dalam [a, b] sedemikian sehingga f'(c) = 0.
Problem 9
Diketahui bilangan bulat tak negatif dapat dinyatakan dalam f(x) yang merepresentasikan bilangan bulat tak negatif x dengan kriteria sebagai berikut:
(a) f(mn) = f(m) + f(n)
(b) untuk n yang memiliki digit terakhir 3, maka f(n)=0
(c) f(10) = 0
maka tentukanlah:
a. f(2012)
b. f(2014)
Solusi:
f(2012) = f(503) + f(4)
f(2012) = f(4)
tinggal cari f(4) karena yg belakangnya 3 untuk f(n) = 0. dan f(10) = 0f(10) = f(2)+f(5)
karena smua nilai f(x) > 0 dan bulat
f(2) = 0f(5) = 0
untuk mendapatkan f(4) , bisa digunakan dengan f(2) maka f(4) = f(2) + f(2)
f(4) = 0
maka f(2012) = 0
f(2014) = f(2) + f(1007)
f(1007) = f(19) + f(53)
tinggal cari tau, nilai f(19) + f(53)
f(53) = 0
f(133) = f(19) + f(7)
0 = f(19) + f(7) sedangkan f(63) = f(7) + f(9)
0 = f(7) + f(9) ketauhi bahwa f(9) = f(3) + f(3) atau f(9) = 0
maka f(7) = 0
f(19) = 0 juga, maka f(2014) = 0
semua f(n) pasti bernilai 0
Problem 10
Tentukan semua pasangan bilangan asli (a,b) yang memenuhi a^4 - 49a^2 + 1 = b^2.
Solusi:
a^4 - 49a^2 + 1 = b^2.
misalkan a² = m
maka m²−49m+1−b²=0
D = k²
49² - 4(1 - b²) = k²
2397 = k² - 4b²
2397 = (k-2b)(k+2b)
Faktor 2397
1,3,17,47,51,141,799,2397
Coba satu persatu
Didapat (k,b)=(1199,599);(401,199);(79,31);(49,1)
Krn k= VD
M = (49±k)/2 =624 TM
M = 225 -> a= 15 M
M = 64 -> a= 8 M
M = 49 -> a= 7 M
Jadi ada 3 penyelesaian
(7,1);(8,31);(15,199)
Problem 11
Bagaimana cara membuktikan 7^n -3^n habis dibagi 4 untuk n bilangan asli?
Solusi:
Dengan menggunakan Induksi
4 | (7^n - 3^n)
untuk n = 1
4|(7^1 - 3^1)
4| 4 (benar)
asumsikan benar untuk n = k
4| (7^k - 3^k)
untuk n = k + 1
4| (7^(k + 1) - 3^(k + 1))
4| (7^k . 7 - 3^k .3)
4| ((4 + 3)7^k - 3.3^k)
4 | (4.7^k + 3.7^k - 3.3^k)
4| 4.7^k + 3(7^k - 3^k)
pada suku pertama
4| 4.7^k (terbukti)
pada suku kedua
berdasarkan asumsi benar untk n = k bahwa
4|(7^k - 3^k)
sehingga
4| 3(7^k - 3^k)
(terbukti benar)
Problem 12
M adalah bilangan asli dua angka ab sedangkan N adalah bilangan asli 3 angka cde. Jika 9.M.N = abcde maka tentukan semua pasangan M,N yang memenuhi......
Solusi:
9.ab.cde = 1000 ab + cde
semuanya dibagi ab
9.cde = 1000 + cde/ab
9.cde - cde/ab = 1000
terlihat bahwa cde = k.ab
9k.ab - k = 1000
k.(9ab - 1) = 1000
faktor dari 1000
1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,1
00,125,200,250,500,1000
9ab-1 yang memenuhi hanya 125
ab = 14
k = 8
cde = 112
Problem 13
Jika tan (x/2) = t, buktikan bahwa cos x = (1-t²)/(1+t²)
Solusi:
cara 1 :
hmmm...
tan x/2 = (sin x/2)/(cos x/2) kalikan (2sin x/2) / (2sin x/2)
tan x/2 = (2sin^2 x/2)/(2sin x/2.cos x/2)
tan x/2 = (1- cos x)/sin x...(1)
tan x/2 = (sin x/2)/(cos x/2) kalikan (2cos x/2) / (2cos x/2)
tan x/2 = (2sin x/2.cos x/2) / (2cos^2 x/2)
tan x/2 = sin x / (1+cos x)...(2)
kalikan (1) dan (2)
t^2 = (1-cos x)/(1+cos x)
t^2 + t^2cos x = 1 - cos x
t^2 cos x + cos x = 1 - t^2
cos x (1+ t^2 ) = 1 - t^2
cos x = (1 - t^2)/(1+ t^2 )
QED
cara 2 :
tan x = (2tan1/2x)/(1-tan^2 1/2x)
tan x = 2t/1-t^2
gunakan segitga siku-siku
sin x = 2t/1+ t^2
cos x = (1- t^2)/(1+ t^2)
Problem 14
Jika f(x) = sin(sin(sin(...(sin(sin x))...))) maka f'(180°) = ....
Solusi :
Hint : dalil rantai :)
f(x) = sin(sin(sin...sinx))
#sin nya ada n kali
f'(x) = cos(sin n-1 kali). cos(sin n-2 kali) ....cos(sinx) . cosx
coba perhatikan
cos(sin(sin(sin180))) = cos(sin(sin(0)) = cos(sin(0)) = cos(0) = 1
jadii cos (sin berapakalipun 180) = 1
tapi di ujungnya ada cos x = cos 180 = -1
jadi jwbna 1.1.1.1.....1.(-1) = -1
Problem 15
Diketahui dititik (x,y) pda kurva brlaku d^2y/dx^2=12x-10 dan persamaan gris singgung di titik (1,0) adalah y=6-6x . tntkan persamaan kurva tsb..
Solusi:
dy/dx = int (d^2y/dx^2) = int (12x-10) = 6x^2 - 10x + c
dy/dx menunjukkan gradien garis singgung di suatu x
y=6-6x adalah garis singgung pd x=1 dan memiliki gradien -6,
maka 6(1)^2 - 10(1) + c = -6
c=-2
dy/dx = 6x^2 - 10x - 2
y= int (dy/dx) = int (6x^2 -10x -2) = 2x^3 -5x^2 - 2x + c
baru subtitusi (1,0)
2-5-2+c =0
c=5
y=2x^3 - 5x^2 - 2x + 5
Problem 16
Si A mempunyai selembar uang 100rb , kemudian ia ingin menukar nya menjadi beberapa uang receh/pecahan yang terdapat 2000, 5000 , 10000 dan 20000
berapakah banyak nya cara penukaran uang tersebut , secara bervariasi , tetapi harus menghasilkan jumlah 100rb?
Solusi:
2a+5b+10c+20d = 100
jika d = 0 maka 11+10+9+...+1 = 66 cara
Jika d = 1 maka 9+8+7+6+...+1 = 45 cara
Jika d = 2 maka 7+6+5+...+ 1 = 28 cara
Jika d = 3 maka 5+4+3+2+1 = 15 cara
Jika d = 4 maka 3+2+1 = 6 cara
Jika d = 5 maka 1 cara
totalnya 1+6+15+28+45+66
Problem 17
Dua digit terakhir bukan nol dari 90! adalah...
Solusi:
Andaikan p=90!/10^21
mudah dibuktikan bahwa p=0 mod 4
Sekarang perhatikan step2 pencarian p mod 25 di bwh in
i=======================
terlebih dahulu susun bentuk di bwh ini
1,11,21,31,41,51,61,71,81 mod 25 dilanjukan
1,11,21,6,16,1,11,21,6
2,12,22,7,17,2,12,22,7
3,13,23,8,18,3,13,23,8
6,16,1,11,21,6,16,1,11
7,17,2,12,22,7,17,2,12
8,18,3,13,23,8,18,3,13
9, 19,4,14,24,9,19,4,14
====================
x=(1.2.3.6.7.8.9)^2=19^2 mod 25=11 mod 25
y=(11.12.13.16.17.18.19)=9^2 mod 25=6 mod 25
z=(21.22.23.1.2.3.4)^2=24^2 mod 25
a=(6.7.8.11.12.13.14)^2=14^2 mod 25
b=(16.17.18.21.22.23.24)=4 mod 25
x.y.z.a.b=19 mod 25
=======================
c=1.7.6.17.22.27.32.37.42.3.7.9.11.13.3.1.17.1.3.4.6.7.8.9=23 mod 25
p=x.y.z.a.b.c=19.23 mod 25=12 mod 25
=======================
p=0 mod 4p=12 mod 25
______________________________
21p=-48 mod 100
7p=-16 mod 100
7p=84 mod 100
p=12 mod 100
=======================
SOLVED
Problem 18
Let x, y, z > 0, and x + y + z = 123.
Find the minimum value of: (x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy
Solusi:
note 3'V = akar pangkat 3
(x^3/ yz) + y + z >= 3 . 3'V[(x^3/ yz) y z ]
(x^3/ yz) + y + z >= 3x
dgn cara yg sama dpt
(y^3/ xz) + x + z >= 3y
(z^3/ yz) + x + y >= 3z
jumlahkan ketiga bentuk dpt:
[(x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy ] + 2(x+y+z) >= 3(x+y+z)
(x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy >= x+y+z
(x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy >= 123
Problem 19
Tuliskan 2718 sebagai jumlah bilangan-bilangan real positif yang memiliki hasil perkalian yang terbesar.
Solusi:
GM ≤ AM
a_1.a_2...a_n ≤ (a_1+a_2+...+a_n/n)^n
a_1.a_2...a_n ≤ (2718/n)^n
catatan: jumlah perkalian akan mencapai maksimum ketika a_1 = a_2 = ... =a_n
konsider
f(n)=(2718/n)^n
agar maksimum f'(n) = 0f'(n)= f(n).ln(2718/n)-(1/n).(2718).(n/2718)=0
ln (2718/ n)=1
2718/n=en = 2718/e
n ≈999,89
dengan melakukan uji pada n=999 dan n=1000 dapat disimpulkan bahwa f(n) maksimum saat n=1000 sehingga
a_1 = a_2 = ... = a_1000 = 2,718
dan bentuk penjumlahannya adalah:
2718 = 2,718 + 2,718 + ... + 2,718 (sebanyak 1000 kali)
Problem 20
ʃarc sin(x) dx =
jawab:
ʃarc sin(x) dxu = arcsinxdu = 1/V(1 - x^2) dx
dv = dxv = x
ʃarc sin(x) dx = u v - Int v du
= x arc sinx - int x * 1/V(1 - x^2) dx
= x arcsinx - int x(1-x^2)^(-1/2) d(1-x^2)/-2x
= x arcsinx + (1/2)(2 V(1-x^2))
= x arcsinx + V(1 - x^2) + C .
Jika diketahui {x} merupakan nilai pecahan dari x, misal {1,6}=0,6 ; {7,89}=0,89 ; {pi - 3} = pi - 3
Buktikan bahwa:
lim_n-->∞ {(2+√3)^n}=1
Solusi:
Perhatikan (2+V3)^n=C(n,0)2^n+C(n,1)2^(n-1).V3+...+C(n,n)(V3)^n (2-V3)^n=C(n,0)2^n-C(n,1)2^(n-1)V3+...+-(V3)^n
Perhatikan bahwa nilai desimal dari {V3+2)} terjadi pada saat C(n,1).2^(n-1).V3+C(n,3).2^(n-3).V3^3+...
Hal ini bersamaan dengan negatifnya nilai desimal dari (2-V3)^n, (2+V3)^n=k+x, k bagian bulat dan dan x bagian desimal Maka, (2-V3)^n=k-x, Sekarang kita dapatkan {(k+x)}=x, dan {(k-x)}=1-x, perhatikan bahwa
lim n-> tak hingga (2-V3)^n=0,
karena 0<2 -v3="-v3" mengakibatkan="mengakibatkan" p="p"> lim n->infinity {(2-V3)}^n=0, atau 1-x=0,
sehingga x=lim {(2+V3)^n}=1, Q.E.D
Problem 2
x+xy+xyz=12
y+yz+xyz=21
z+xz+xyz=30
berapa nilai (x+y+z) + xyz - x^z
Solusi:
x+xy+xyz=12.....(1)
y+yz+xyz=21.....(2)
z+xz+xyz=30......(3)
------------------+
x+y+z+xy+xz+yz+3xyz=63
x+y+z+xy+xz+yz+xyz+1+2xyz=64
(x+1)(y+1)(z+1)+2xyz=64
x+xy+xyz=12
xyz=12-x(y+1)
Sbstskan (y+1)(x+1)(z+1) +2(12-x(y+1)=64
(y+1)(x+1)(z+1)+24-2x(y+1)=64
(y+1)(x+1)(z+1)-2x(y+1)=40
(y+1){(x+1)(z+1)-2x}=40
(y+1){xz+x+z+1-2x}=40
(y+1){xz+z-x+1}=40
40=1*40; 2*20; 4*10; 5*8
Krn y≠0
(y+1){xz+z-x+1}=40
2 * 20 Shngga y=1
xz+z-x+1=20
xz+z=19+x......**
Sbstkan ** ke (3)
19+x+xyz=30 ,
y=1
x+ xz =11......***
Mskkan y=1 ke (1) shnnga x+x+xz =12
2x+xz=12
x+xz=11 ___________-
x=1 Mskkan x=1 ke ***
x+xz=11 1+z =11 z=10
(x+y+z) + xyz - x^z = (1+1+10) + 1.1.10 – 1^10 = 21
Problem 3
ab+c+d=2
bc+a+d=5
cd+a+b=3
da + b + c = 6
maka berapa nilai: a^b + c^d – abcd
Solusi:
Selesaikan persamaan simultan :
ab + c + d = 3,
bc + a + d = 5,
cd + a + b = 2,
da + b + c = 6
dengan a, b , c dan d adalah bilangan real.
(Sumber : British Mathematical Olympiad 2003/2004 Round 1)
Solusi :
ab + c + d = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
bc + a + d = 5 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
cd + a + b = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)
da + b + c = 6 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)
(1) + (2) = (3) + (4)
ab + c + d + bc + a + d = cd + a + b + da + b + c b(a + c) + 2d = d(a + c) + 2b (b − d)(a + c) = 2(b − d) (b − d)(a + c − 2) = 0
b = d atau a + c = 2
• Jika b = d Persamaan (2) bc + a + b = 5
Persamaan (3) bc + a + b = 2
Kontradiksi maka tidak ada nilai a, b, c dan d yang memenuhi.
• Jika a + c = 2 (1) + (2) ab + bc + a + c + 2d = 8 b(a + c) + a + c + 2d = 8 b + d = 3 (2) + (3) bc + cd + 2a + b + d = 7 c(b + d) + 2a + b + d = 7 3c + 2a = 4 3c + 2(2 − c) = 4 c = 0 a = 2
Persamaan (2) b(0) + (2) + d = 5 d = 3 b = 3 − (3) = 0
(a, b, c, d) yang memenuhi adalah (2, 0, 0, 3)
maka:
a^b + c^d - abcd = 2^0 + 0^3 - 2.0.0.3 = 1
Problem 4
Misalkan a,b,c adl akar-akar yg berbeda dari persamaan x^3-x+1=0.
Nilai dari:
a^8(1+a^8)+b^8(1+b^8)+c^8(1+c^8) adalah ...
Solusi:
a^8 + b^8 + c^8 + a^16 + b^16 + c^16 = 10 + 90 = 100 ---
( a + b)^3 = a^3 +b^3 + 3(ab)(a + b) = a^3 - 1 + 3(-a)(a - 1)
= a^3 - 1 - 3a(a - 1) = a^3 - 1 - 3a^2 + 3a ---
a + b + c = 0
ab + bc + ac = - 1
abc = -1 ------
x^3 = x - 1
a^3 = a - 1 , a^2 = (a - 1)/a , a^6 = (a^2)^3 = ((a - 1)/a)^3 = (a -1)^3/a^3 = (a -1)^3 /(a - 1)
b^3 = b - 1 , b^2 = (b - 1)/b , b^6 = (b^2)^3 = ((b - 1)/b)^3 = (b -1)^3/b^3 = (b -1)^3 /(b - 1)
c^3 = c - 1 , c^2 = (c - 1)/c , c^6 = (c^2)^3 = ((c - 1)/c)^3 = (c -1)^3/c^3 = (c -1)^3 /(c - 1)
a^8 = a^6.a^2 = (a -1)^3 /(a - 1). (a - 1)/a = (a - 1)^3/a
b^8 = b^6.b^2 = (b -1)^3 /(b - 1). (b - 1)/b = (b - 1)^3/b
c^8 = c^6.c^2 = (c -1)^3 /(c - 1). (c - 1)/c = (c - 1)^3/c
a^8 + b^8 + c^8 = (a - 1)^3/a + (b - 1)^3/b + (c - 1)^3/c
= (bc(a - 1)^3 + ac(b - 1)^3 + ab(c - 1)^3)/abc
=(bc (a^3 - 3a^2 + 3a - 1) + ac(b^3 - 3b^2 + 3b - 1) + ab(c^3 - 3c^2 + 3c - 1))/abc
=(abc(a^2 - 3a + 3) - bc + abc(b^2 - 3b + 3 ) - ac + abc(c^2 - 3c + 3) - ab)/abc
=(-a² + 3a - 3 - bc - b² + 3b - 3 - ac - c² + 3c - 3 - ab)/(-1)
=(-(a² + b² + c²) + 3(a + b + c) - 9 - ( ac + ab + bc))/(-1)
= a² + b² + c² - 3.0 + 9 + ( -1)
= a² + b² + c² + 8
= (a + b + c)² - 2(ab + bc + ac) + 8
= 0 - 2(-1) + 8 = 10 ---
a^16 = (a^8)^2
= ((a - 1)^3/a)^2
= (a^3 - 3a^2 + 3a - 1)²/a²
= (a - 1 - 3a² + 3a - 1)²/a²
=(4a - 3a² - 2)²/a²
= 16a² + 9a^4 + 4 - 2.4a.3a² - 2.4a.2 + 2.3a².2
=(9a^4 + 16a² + 4 - 24a^3 -16a + 12a²)/a²
=(9a^4 - 24a^3 + 28a² - 16a + 4 )/a² a^16
= 9a² - 24a + 28 - 16/a + 4/a² b^16
= 9b² - 24b + 28 - 16/b + 4/b² c^16
= 9c² - 24c + 28 - 16/c + 4/c² ----
a^16 + b^16 + c^16 = 9a² - 24a + 28 - 16/a + 4/a² + 9b² - 24b + 28 - 16/b + 4/b² + 9c² - 24c + 28 - 16/c + 4/c²
= 9(a² + b² + c²) - 24(a + b + c) + 3.28 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 9((a + b + c)² - 2(ab + bc + ac)) - 24(a + b + c) + 3.28 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 9( 0 - 2(-1)) - 24(0) + 3.28 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 18 + 84 - 16(1/a + 1/b + 1/c) + 4(1/a² + 1/b² + 1/c²)
= 102 - 16(ab + bc + ac)/(abc) + 4(b²c² + a²b² + a²c²)/(abc)²
= 102 - 16(-1)/(-1) + 4(b²c² + a²b² + a²c²)/(-1)²
= 102 - 16 + 4(b²c² + a²b² + a²c²)
= 86 + 4((ab + bc + ac)² - 2b²ac - 2c²ab - 2a²bc)
= 86 + 4((ab + bc + ac)² - 2abc(a + b + c))
= 86 + 4((-1)² - 2(-1)(0))
= 86 + 4 = 90 ---
a^8 + b^8 + c^8 + a^16 + b^16 + c^16 = 10 + 90 = 100
Problem 5
Tentukan semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan yang lain hasilnya adalah 2.
Solusi:
X+yz = 2...(1)
Y+xz = 2...(2)
Z+xy = 2...(3)
Sulap 1 dan 2
(X-y)(z-1) = 0
Didapat x=y atau z=1
Sulap (2) dan (3)
(Y-z)(x-1)=0
Y=z dan x=1X=y=z
Subs X+x^2-2 = 0
(X+2)(x-1)=0
X=-2 atau x=1
Krn x=y=z jd solusinya:
(1,1,1),(-2,-2,-2)
Problem 6
ʃf(x) dx = ax² + bx + c , a≠0
jika a, f(a), 2b membentuk deret aritmatika dan f(b)=9. maka ʃ[0 s/d 1] f(x) dx adalah...
Solusi:
f(a) = 2a² +b.
jadi a, 2a²+b, 2b membntuk dert arit dg f(b) = 2ab+b = 9
beda = beda
2a² + b - a = b - 2a²
jadi 4a² = a
4a =1
a = 1/4 susi ke 2ab + b = 9 ketemu b = 6
ʃf(x) dx [dari 0 s/d 1] int (1/4).2.x + 6 ] = 1/4x² + 6x] dari 0-1 = 1/4 + 6
Problem 7
Berapakah sisa jika 1776^1492! dibagi 2000 ?
Solusi:
1776^1492! = 0 (mod 16)
1776^1492! = 16a . . . . (1)
1776^1492! = 1 (mod 125) . . . . (2)
16a = 1 (mod 125)
a = 86 (mod 125)
a= 125b + 86
masukkan ke persamaan (1) :
1776^1492! = 16(125b+86)
1776^1492! = 2000b +1376
1776^1492! = 1376 (mod 2000)
Problem 8
Show that 5x^4 - 4x + 1 has a root between 0 and 1
Solusi:
misalkan f(x) = x^5 - 2x^2 + x
f'(x) = 5x^4 - 4x + 1
f(0) = 0
f(1) = 1-2-1 = 0
Menurut teorema Rolle, karena f kontinu dan f(a)=f(b), terdapat suatu c dalam [a, b] sedemikian sehingga f'(c) = 0.
Problem 9
Diketahui bilangan bulat tak negatif dapat dinyatakan dalam f(x) yang merepresentasikan bilangan bulat tak negatif x dengan kriteria sebagai berikut:
(a) f(mn) = f(m) + f(n)
(b) untuk n yang memiliki digit terakhir 3, maka f(n)=0
(c) f(10) = 0
maka tentukanlah:
a. f(2012)
b. f(2014)
Solusi:
f(2012) = f(503) + f(4)
f(2012) = f(4)
tinggal cari f(4) karena yg belakangnya 3 untuk f(n) = 0. dan f(10) = 0f(10) = f(2)+f(5)
karena smua nilai f(x) > 0 dan bulat
f(2) = 0f(5) = 0
untuk mendapatkan f(4) , bisa digunakan dengan f(2) maka f(4) = f(2) + f(2)
f(4) = 0
maka f(2012) = 0
f(2014) = f(2) + f(1007)
f(1007) = f(19) + f(53)
tinggal cari tau, nilai f(19) + f(53)
f(53) = 0
f(133) = f(19) + f(7)
0 = f(19) + f(7) sedangkan f(63) = f(7) + f(9)
0 = f(7) + f(9) ketauhi bahwa f(9) = f(3) + f(3) atau f(9) = 0
maka f(7) = 0
f(19) = 0 juga, maka f(2014) = 0
semua f(n) pasti bernilai 0
Problem 10
Tentukan semua pasangan bilangan asli (a,b) yang memenuhi a^4 - 49a^2 + 1 = b^2.
Solusi:
a^4 - 49a^2 + 1 = b^2.
misalkan a² = m
maka m²−49m+1−b²=0
D = k²
49² - 4(1 - b²) = k²
2397 = k² - 4b²
2397 = (k-2b)(k+2b)
Faktor 2397
1,3,17,47,51,141,799,2397
Coba satu persatu
Didapat (k,b)=(1199,599);(401,199);(79,31);(49,1)
Krn k= VD
M = (49±k)/2 =624 TM
M = 225 -> a= 15 M
M = 64 -> a= 8 M
M = 49 -> a= 7 M
Jadi ada 3 penyelesaian
(7,1);(8,31);(15,199)
Problem 11
Bagaimana cara membuktikan 7^n -3^n habis dibagi 4 untuk n bilangan asli?
Solusi:
Dengan menggunakan Induksi
4 | (7^n - 3^n)
untuk n = 1
4|(7^1 - 3^1)
4| 4 (benar)
asumsikan benar untuk n = k
4| (7^k - 3^k)
untuk n = k + 1
4| (7^(k + 1) - 3^(k + 1))
4| (7^k . 7 - 3^k .3)
4| ((4 + 3)7^k - 3.3^k)
4 | (4.7^k + 3.7^k - 3.3^k)
4| 4.7^k + 3(7^k - 3^k)
pada suku pertama
4| 4.7^k (terbukti)
pada suku kedua
berdasarkan asumsi benar untk n = k bahwa
4|(7^k - 3^k)
sehingga
4| 3(7^k - 3^k)
(terbukti benar)
Problem 12
M adalah bilangan asli dua angka ab sedangkan N adalah bilangan asli 3 angka cde. Jika 9.M.N = abcde maka tentukan semua pasangan M,N yang memenuhi......
Solusi:
9.ab.cde = 1000 ab + cde
semuanya dibagi ab
9.cde = 1000 + cde/ab
9.cde - cde/ab = 1000
terlihat bahwa cde = k.ab
9k.ab - k = 1000
k.(9ab - 1) = 1000
faktor dari 1000
1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,1
00,125,200,250,500,1000
9ab-1 yang memenuhi hanya 125
ab = 14
k = 8
cde = 112
Problem 13
Jika tan (x/2) = t, buktikan bahwa cos x = (1-t²)/(1+t²)
Solusi:
cara 1 :
hmmm...
tan x/2 = (sin x/2)/(cos x/2) kalikan (2sin x/2) / (2sin x/2)
tan x/2 = (2sin^2 x/2)/(2sin x/2.cos x/2)
tan x/2 = (1- cos x)/sin x...(1)
tan x/2 = (sin x/2)/(cos x/2) kalikan (2cos x/2) / (2cos x/2)
tan x/2 = (2sin x/2.cos x/2) / (2cos^2 x/2)
tan x/2 = sin x / (1+cos x)...(2)
kalikan (1) dan (2)
t^2 = (1-cos x)/(1+cos x)
t^2 + t^2cos x = 1 - cos x
t^2 cos x + cos x = 1 - t^2
cos x (1+ t^2 ) = 1 - t^2
cos x = (1 - t^2)/(1+ t^2 )
QED
cara 2 :
tan x = (2tan1/2x)/(1-tan^2 1/2x)
tan x = 2t/1-t^2
gunakan segitga siku-siku
sin x = 2t/1+ t^2
cos x = (1- t^2)/(1+ t^2)
Problem 14
Jika f(x) = sin(sin(sin(...(sin(sin x))...))) maka f'(180°) = ....
Solusi :
Hint : dalil rantai :)
f(x) = sin(sin(sin...sinx))
#sin nya ada n kali
f'(x) = cos(sin n-1 kali). cos(sin n-2 kali) ....cos(sinx) . cosx
coba perhatikan
cos(sin(sin(sin180))) = cos(sin(sin(0)) = cos(sin(0)) = cos(0) = 1
jadii cos (sin berapakalipun 180) = 1
tapi di ujungnya ada cos x = cos 180 = -1
jadi jwbna 1.1.1.1.....1.(-1) = -1
Problem 15
Diketahui dititik (x,y) pda kurva brlaku d^2y/dx^2=12x-10 dan persamaan gris singgung di titik (1,0) adalah y=6-6x . tntkan persamaan kurva tsb..
Solusi:
dy/dx = int (d^2y/dx^2) = int (12x-10) = 6x^2 - 10x + c
dy/dx menunjukkan gradien garis singgung di suatu x
y=6-6x adalah garis singgung pd x=1 dan memiliki gradien -6,
maka 6(1)^2 - 10(1) + c = -6
c=-2
dy/dx = 6x^2 - 10x - 2
y= int (dy/dx) = int (6x^2 -10x -2) = 2x^3 -5x^2 - 2x + c
baru subtitusi (1,0)
2-5-2+c =0
c=5
y=2x^3 - 5x^2 - 2x + 5
Problem 16
Si A mempunyai selembar uang 100rb , kemudian ia ingin menukar nya menjadi beberapa uang receh/pecahan yang terdapat 2000, 5000 , 10000 dan 20000
berapakah banyak nya cara penukaran uang tersebut , secara bervariasi , tetapi harus menghasilkan jumlah 100rb?
Solusi:
2a+5b+10c+20d = 100
jika d = 0 maka 11+10+9+...+1 = 66 cara
Jika d = 1 maka 9+8+7+6+...+1 = 45 cara
Jika d = 2 maka 7+6+5+...+ 1 = 28 cara
Jika d = 3 maka 5+4+3+2+1 = 15 cara
Jika d = 4 maka 3+2+1 = 6 cara
Jika d = 5 maka 1 cara
totalnya 1+6+15+28+45+66
Problem 17
Dua digit terakhir bukan nol dari 90! adalah...
Solusi:
Andaikan p=90!/10^21
mudah dibuktikan bahwa p=0 mod 4
Sekarang perhatikan step2 pencarian p mod 25 di bwh in
i=======================
terlebih dahulu susun bentuk di bwh ini
1,11,21,31,41,51,61,71,81 mod 25 dilanjukan
1,11,21,6,16,1,11,21,6
2,12,22,7,17,2,12,22,7
3,13,23,8,18,3,13,23,8
6,16,1,11,21,6,16,1,11
7,17,2,12,22,7,17,2,12
8,18,3,13,23,8,18,3,13
9, 19,4,14,24,9,19,4,14
====================
x=(1.2.3.6.7.8.9)^2=19^2 mod 25=11 mod 25
y=(11.12.13.16.17.18.19)=9^2 mod 25=6 mod 25
z=(21.22.23.1.2.3.4)^2=24^2 mod 25
a=(6.7.8.11.12.13.14)^2=14^2 mod 25
b=(16.17.18.21.22.23.24)=4 mod 25
x.y.z.a.b=19 mod 25
=======================
c=1.7.6.17.22.27.32.37.42.3.7.9.11.13.3.1.17.1.3.4.6.7.8.9=23 mod 25
p=x.y.z.a.b.c=19.23 mod 25=12 mod 25
=======================
p=0 mod 4p=12 mod 25
______________________________
21p=-48 mod 100
7p=-16 mod 100
7p=84 mod 100
p=12 mod 100
=======================
SOLVED
Problem 18
Let x, y, z > 0, and x + y + z = 123.
Find the minimum value of: (x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy
Solusi:
note 3'V = akar pangkat 3
(x^3/ yz) + y + z >= 3 . 3'V[(x^3/ yz) y z ]
(x^3/ yz) + y + z >= 3x
dgn cara yg sama dpt
(y^3/ xz) + x + z >= 3y
(z^3/ yz) + x + y >= 3z
jumlahkan ketiga bentuk dpt:
[(x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy ] + 2(x+y+z) >= 3(x+y+z)
(x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy >= x+y+z
(x^3)/yz + (y^3)/xz + (z^3)/xy >= 123
Problem 19
Tuliskan 2718 sebagai jumlah bilangan-bilangan real positif yang memiliki hasil perkalian yang terbesar.
Solusi:
GM ≤ AM
a_1.a_2...a_n ≤ (a_1+a_2+...+a_n/n)^n
a_1.a_2...a_n ≤ (2718/n)^n
catatan: jumlah perkalian akan mencapai maksimum ketika a_1 = a_2 = ... =a_n
konsider
f(n)=(2718/n)^n
agar maksimum f'(n) = 0f'(n)= f(n).ln(2718/n)-(1/n).(2718).(n/2718)=0
ln (2718/ n)=1
2718/n=en = 2718/e
n ≈999,89
dengan melakukan uji pada n=999 dan n=1000 dapat disimpulkan bahwa f(n) maksimum saat n=1000 sehingga
a_1 = a_2 = ... = a_1000 = 2,718
dan bentuk penjumlahannya adalah:
2718 = 2,718 + 2,718 + ... + 2,718 (sebanyak 1000 kali)
Problem 20
ʃarc sin(x) dx =
jawab:
ʃarc sin(x) dxu = arcsinxdu = 1/V(1 - x^2) dx
dv = dxv = x
ʃarc sin(x) dx = u v - Int v du
= x arc sinx - int x * 1/V(1 - x^2) dx
= x arcsinx - int x(1-x^2)^(-1/2) d(1-x^2)/-2x
= x arcsinx + (1/2)(2 V(1-x^2))
= x arcsinx + V(1 - x^2) + C .
