CARA SEDERHANA MENDAPATKAN BILANGAN TRIPEL PHYTAGORAS

Latar Belakang Masalah



Urutan bilangan tripel Phytagoras sangat menarik untuk diperhatikan. Untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras tidaklah terlalu sukar, karena secara baku dalam buku-buku ajar Matematika tingkat SLTP diberikan rumusnya. Namun ternyata rumusan itu tidak dapat difahami secara sederhana bagi sebagian besar siswa. Sehingga banyak siswa yang merasa bingung. Terutama dalam proses menghitung bilangan-bilangan untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras dari dua bilangan asli yang secara bebas ditentukan.



Bertitik tolak dari kondisi tersebut mendorong penulis untuk melakukan modifikasi terhadap rumusan tripel Phytagoras melalui analisis matematis.

Sehingga diharapkan akan didapat bentuk sederhana yang dapat dipertanggungjawabkan secara keilmuan.



Menyederhanakan Rumus Tripel Phytagoras



Tripel Phytagoras ( pada umumnya ) adalah susunan tiga buah bilangan asli yang memenuhi aturan Phytagoras. Jika bilangan-bilangan tersebut dinyatakan sebagai a, b dan c dengan a dan b adalah sisi-sisi siku-siku dan c adalah sisi miring ( hipotenusa ), maka akan berlaku :



c^2 = a^2 + b^2 ...( 1 )

dimana:



a = 2mn …( 2 )

b = m^2 – n^2 ...( 3 )

c = m^2 + n^2 ...( 4 )

m, n adalah bilangan-bilangan asli sembarang dan berbeda.



Terlihat bahwa untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras terlebih dulu harus menentukan dua bilangan. Itu hal yang mudah, tapi tidak sederhana! Untuk membuat rumus diatas menjadi lebih sederhana maka diambil asumsi-asumsi sebagai berikut:



a < b < c …( 5 )



Sehingga urutan bilangan tersebut dari yang terkecil adalah : a, b, c. Dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) ke pertidaksamaan ( 5 ), maka didapat bentuk:



2mn < m^2 – n^2 < m^2 + n^2 …( 6 )



Tanpa perlu pembuktian, sudah jelas bahwa: m^2 – n^2 < m^2 + n^2

Akan dibuktikan bahwa:



2mn < m^2 + n^2



dimana m ≠ n, atau:



m^2 + n^2 > 2mn

m^2 + n^2 – 2mn > 0

( m – n )^2 > 0 ; kuadrat suatu bilangan real selalu positif. ( Terbukti )



Sekarang akan dibuktikan dengan syarat tertentu bahwa:



m^2 – n^2 > 2mn …( 7 )

( m^2 – n^2 ) – 2mn > 0 …( 8 )

Jika diambil nilai

β = ( m2 – n2 ) – 2mn …( 9 )



Dengan membandingkan pertidaksamaan ( 8 ) dengan persamaan ( 9 ), maka terlihat bahwa β adalah bilangan positif. Sekarang ambil:



( m + n )^2 = m^2 + n^2 + 2mn … ( 10 )



Tambahkan m2 – n2 pada kedua ruas dari persamaan ( 10 ), sehingga didapat:



m^2 – n^2 + ( m + n )^2 = m^2 – n^2 + m^2 + n^2 + 2mn

m^2 – n^2 + ( m + n )^2 = 2 m^2 + 2mn

( m^2 – n^2 ) – 2mn = 2 m^2 - ( m + n )^2 …( 11 )



Terlihat bahwa bagian sebelah kiri dari persamaan ( 11 ) adalah menyatakan β. Sehingga persamaan ( 9 ) dapat berbentuk:



β = 2 m^2 - ( m + n )^2 …( 12 )

β = ( m√2 + m + n )( m√2 – m – n ) …( 13 )





Pada persamaan ( 13 ) karena m dan n adalah bilangan asli yang berbeda maka besaran: ( m√2 + m + n ) berharga positif, sehingga agar β bernilai positif, maka harus dipenuhi kondisi:



( m√2 – m – n ) > 0

( √2 – 1 )m – n > 0

m > n/( √2 – 1 )

( m/n ) > 1 + √2 …( 14 )



Pertidaksamaan ( 14 ) adalah syarat agar pertidaksamaan ( 5 ) terpenuhi.



Rumusan yang Sederhana itu



Karena ( m/n ) adalah bilangan rasional positif, sedangkan bilangan tripel phytagoras ( pada umumnya ) adalah bilangan asli maka disini akan dibatasi bahwa ( m/n ) adalah bilangan bulat positif, lebih tepatnya bilangan asli. Sehingga persamaan ( 14 ) dapat dinyatakan sebagai:



( m/n ) >= 3 ; dimana ( m/n ) adalah bilangan asli. …( 15 )



Sebagaimana diketahui bahwa bilangan pertama suatu urutan tripel Phytagoras dapat berupa bilangan genap maupun bilangan ganjil. Sehingga untuk mendapatkan rumus urutan tripel Phytagoraspun diperlukan dua analisis, yaitu analisis dalam menentukan urutan tripel Phytagoras dengan bilangan pertama tripel adalah bilangan genap dan bilangan pertama tripel adalah bilangan ganjil.



1. Menentukan Urutan Tripel Phytagoras dengan Bilangan Pertama Tripel

adalah Bilangan Genap



Jika sisi-sisi segitiga siku-siku pada persamaan-persamaan ( 2 ), ( 3 ) dan ( 4 ) dinyatakan dalam bentuk perbandingan antar sisi-sisi, maka didapat bentuk



a : b : c = 2mn : m2 – n2 : m2 + n2 …( 16 )



Jika ruas sebelah kanan dari persamaan ( 16 ) dibagi dengan n^2, maka akan diperoleh bentuk:



a : b : c = 2( m/n ) : ( m/n )^2 - 1 : ( m/n )^2 + 1 … ( 17 )





Berdasarkan persamaan ( 15 ) bahwa ( m/n ) adalah bilangan asli, maka ( m/n ) dapat dinyatakan sebagai bilangan asli k. Sehingga persamaan ( 17 ) dapat ditulis:



a : b : c = 2k : k^2 – 1 : k^2 + 1 …( 18 )



Dari persamaan ( 18 ) terlihat bahwa:



a = 2k ; k adalah bilangan asli …( 19 )



Sehingga a adalah adalah bilangan genap ( G ), maka persamaan ( 19 ) dapat ditulis:



G = 2k

k = G/2 …( 20 )





Jika nilai k pada persamaan ( 20 ) disubstitusikan pada persamaan 18, maka didapat bentuk:



a : b : c = G : ( G/2 )^2 - 1 : ( G/2 )^2 + 1 …( 21 )



Persamaan ( 21 ) menyatakan bilangan dasar dari tripel Phytagoras, sehingga nilai-nilai dari a, b dan c adalah sebagai berikut:



a = G …( 22 )

b = ( G/2 )^2 - 1 …( 23 )

c = ( G/2 )^2 + 1 …( 24 )



Dari persamaan-persamaan ( 23 ) dan ( 24 ) didapat dua hubungan yang penting, yaitu:



c – b = 2 ...( 25 )

G = √[( b + c )/2 ...( 26 )



2. Menentukan Urutan Tripel Phytagoras dengan Bilangan Pertama Tripel

adalah Bilangan Ganjil



Dengan membagi ruas kanan persamaan ( 16 ) dengan 2n^2 maka akan diperoleh bentuk sebagai berikut:



a : b : c = m/n : [(m/n)^2 - 1]/2 : [(m/n)^2 + 1]/2 ...( 27 )

Berdasarkan persamaan ( 15 ) ( m/n ) adalah bilangan asli. Jika diinginkan bahwa ( m/n ) adalah bilangan ganjil, maka ( m/n ) harus dinyatakan dalam bentuk



m/n = 2k + 1 ; k adalah bilangan asli …( 28 )



Dengan mensubstitusikan persamaan ( 28 ) ke persamaan ( 27 ), maka didapat bentuk:



a : b : c = 2k + 1 : [(2k + 1)^2 - 1]/2 : [(2k + 1)^2 + 1]/2 ...( 29 )



karena 2k + 1 menyatakan bilangan ganjil untuk setiap k bilangan asli, maka dapat ditulis:



g = 2k + 1 …( 30 )





Dengan mensubstitusikan persamaan ( 30 ) ke persamaan ( 29 ), maka akan didapat bentuk sebagai berikut:



a : b : c = g : ( g^2 - 1 )/2 :( g^2 + 1 )/2 …( 31 )



Persamaan ( 31 ) menyatakan bilangan dasar dari tripel Phytagoras, sehingga nilai-nilai dari a, b dan c adalah sebagai berikut:



a = g …( 32 )

b = ( g^2 - 1 )/2 …( 33 )

c = ( g^2 + 1 )/2 …( 34 )

Dari persamaan ( 33 ) dan ( 34 ) didapat dua hubungan yang penting, yaitu:



c – b = 1 …( 35 )

g = √( b + c ) ...( 36 )







Contoh Penggunaan Tripel Phytagoras



1. Diketahui sisi-sisi tegak sebuah segitiga siku-siku adalah 7 cm dan 24 cm.

Tentukan panjang sisi miring ( hipotenusa ) dari segitiga tersebut!

Jawab:

Langkah 1: Karena 7 cm dan 24 cm adalah sisi-sisi tegak, maka 7cm dan 24 cm dalam urutan tripel Phytagoras saling berdekatan ( bilangan pertama dan kedua ). Karena 7 cm > 24 cm, maka 7cm adalah bilangan pertama tripel.

Langkah 2: Chek bahwa 24 cm didapat dari:

[( 7^2- 1 )/2] = 24 cm ====> cocok!!!

Langkah 3: Sekarang tinggal menghitung bilangan ketiga ( panjang hipotenusa)

c = [( 7^2 + 1 )/2] = 25 cm

2. Diketahui salah satu sisi tegak dari segitiga siku-siku adalah 56 cm dan sisi terpanjangnya adalah 70 cm. Tentukan panjang sisi tegak yang lainnya!

Jawab:

Langkah 1: 56 70

------------- ÷ 7

8 10

------------- ÷ 2

4 5



Terlihat bahwa 4 cm dan 5 cm berselisih 1 cm, maka 4 cm dan 5 cm dalam urutan tripel Phytagoras saling berdekatan ( bilangan kedua dan ketiga ).

Langkah 2: Sekarang tinggal menghitung bilangan pertama ( sisi tegak yang lain )

a = = √ ( 4 + 5 ) = 3 cm



Langkah 3: Sekarang tinggal mengembalikan ke bilangan yang sesungguhnya dicari. Karena tadi membagi bilangan 56 dan 70 berturut-turut oleh 7 dan 2, maka bilangan yang dicari adalah: 3 x 7 x 2 = 42 cm.



Kesimpulan



Dengan menetukan sembarang bilangan asli sebagai bilangan pertama bagi tripel Phytagoras, maka bilangan kedua dan ketiganya bisa didapat dengan mudah.