Nilai Eksak Sin 18 dan Sin 54

Ada banyak sekali metode menemukannya, akan tetapi akan saya berikan salah satu cara yang pertama kali saya gunakan untuk menemukannya.

kita manfaatkan sifat trigonometrii:

2sin36.cos36 = sin(36+36) - sin(36-36) = sin72 - sin0

2sin36.cos108 = sin(36+108) - sin(108-36) = sin144 - sin72

--------------------------------------------------------------------------------(+)

2sin36[cos36 + cos108] = sin 144.

2sin36[cos36 + cos 108] = sin(180 - 144) = sin36

2[cos36 + cos 108] =1

cos36 + cos108 = 1/2 ------------------>(1)

nah coba perhatikan selanjutnya

cos 36 + cos 108 = 2.cos((36+108)/2).cos((36-108)/2) = 2cos72.cos(-36) = 2cos72.cos36

=2(-cos108).cos36

sehingga diperoleh

cos36.cos108 = -1/4 ----------------(2)

kita misalkan saja bahwa cos 36 dan -cos108 merupakan akar2 persamaan dari

x^2 - ax + b =0

maka

x1 + x2 = cos36 + cos108 = a

x1.x2 = cos36.cos108 = b

tetapi a = 1/2 dan b=-1/4, maka persamaan kuadrat tadi adalah:x^2 - x/2 -1/4 = 0

4x^2 - 2x -1 = 0

dengan menggunakan rumus abc, diperoleh:

x1 = (2+V(4+4))/8 = (V5 + 1)/4

x2 = (-2+V(4+4))/8 = (1- V5)/4

karena cos108 bernilai negatif, maka diperoleh:cos 36 = (V5 + 1)/4

cos 108 = (1-V5)/4 --->cos72 = (V5 - 1)/4

Jadi:
cos 36 = sin 54 = (V5 + 1)/4
cos72 = sin 18 = (V5 - 1)/4