TRIGONOMETRI

Basic Formulae
1. Sin² x + Cos² x = 1
2. 1 + tan² x = sec² x
3. 1 + cotan² x = cosec² x

Trigonometrical ratios for sum and difference
1. Sin (a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b
2. Sin (a-b) = sin a.cos b - cos a.sin b
3. Cos (a+b) = cos a.cos b - sin a.sin b
4. Cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b
5. Tan (a+b) = (tan a + tan b)/(1- tan a.tan b)
6. Tan (a-b) = (tan a - tan b)/(1+ tan a.tan b)
7. Cot (a+b) = (cot a. cot b - 1)/(cot a + cot b)
8. Cot (a-b) = (cot a. cot b + 1)/(cot a - cot b)
9. Sin (a+b).Sin (a-b) = sin^2 a - sin^2 b = Cos^2 b - cos^2 a
10. Cos (a+b).cos (a-b) = cos^2 a - sin^2 b  = cos^2 b - sin^2 a
11. Sin 2a = 2sin a. cos a   = (2 tan a)/(1+tan^2 a)
12. Cos 2a = cos^2 - sin^2 a   = 1 - 2 sin^2    = 2cos^2 a - 1  = (1- tan^2 a)/(1+ tan^2 a)
13. Tan 2a = (2tan a)/(1- tan^2 a)
14. Tan (a/2) = (1-cos a)/sin a
15. Cot (a/2) = (1+cos a)/sin a
16. Tan^2 (a/2) = (1-cos a)/(1+cos a)
17. Cot^2 (a/2) = (1+cos a)/(1- cos a)

Sum and Difference into products
1. Sin A + sin B = 2 sin 1/2(A+B) Cos 1/2 (A-B)
2. Sin A - sin B = 2 cos 1/2(A+B) Sin 1/2 (A-B)
3. Cos A + Cos B = 2 cos 1/2(A+B) Cos 1/2 (A-B)
4. Cos A - Cos B = -2 sin 1/2(A+B) sin 1/2 (A-B)
5. Tan A + Tan B = [Sin (A+B)]/(Cos A.Cos B)
6. Tan A -Tan B = [Sin (A-B)]/(Cos A.Cos B)
7. Cot A + Cot B = [Sin (B+A)/(Sin A.Sin B)]
8. Cot A - Cot B = [Sin (B-A)/(Sin A.Sin B)]

Product into Sum or Difference
1. 2Sin A.cos B = Sin (A+B) + Sin (A-B)
2. 2Cos A.Sin B = Sin (A+B) - Sin (A-B)
3. 2Cos A.Cos B = Cos (A+B) + Cos (A-B)
4. 2Sin A. Sin B = -Cos (A+B) + Cos (A-B)

Triple Angles
 Sin (a+b+c) = Sin a Cos b Cos c + Cos a Sin b Cos c + Cos a Cos b Sinc + Sin a Sin b Sin c
Cos (a+b+c) =Cos a Cos b Cos c - cos a Sin b Sin c - Sin a Cos b Sin c - Sin a Sin b Cos c
Tan (a+b+c) = Sin (a+b+c) / Cos (a+b+c)
Sin 3a = 3.Sin a - 4 Sin^3 a
Cos 3a = 4.Cos^3 a - 3.Cos a
Tan 3a = (3 Tan a - Tan^3 a)/(1 - 3.Tan^2 a)
Sin a.Sin (60-a).Sin (60+a) = (Sin 3a)/4
Cos a.Cos(60-a).Cos(60+a) = (Cos 3a)/4

Product dan Sum of the sin and cosine Series
Cos a. Cos 2a. Cos 4a. Cos 8a....Cos 2^(n-1) = [Sin ((2^n).a)] / (2^n .Sin a)
Sin a + Sin (a+b) + Sin (a+2b) + ... n  terms = Sin [a+(n-1)b]. [Sin (n .b/2)]/(sin (b/2))
Cos a+ Cos (a+b) + Cos (a+2b) + ... n  terms = Cos [a+(n-1)b]. [Sin (n .b/2)]/(sin (b/2))
Sin phi/m.Sin 2phi/m.Sin 3phi/m....Sin (m-1)phi/m = [m/ 2^(m-1)]
1/(sina.sin2a) +1/(sin2a.sin3a) +...+ 1/(sin an.sin(n+1)a)=[cot a - cot (n+1)a]/sin a
1/(cos a-cos3a)+1/(cos a-cos5a)+...+1/(cos a-cos(2n+1)a = [cot a-cot (n+1)a]/2sina
1/(cos a+cos3a)+1/(cos a+cos5a)+...+1/(cos a+cos(2n+1)a =[tan(n+1)a- tan a]/2sina

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problem Set
 1. Buktikan 2(sin^6 a+cos^6 a) - 3(sin^4 a + cos^4 a) + 1 = 0

Jawab :
Misalkan sin'^2 a = p dan cos'^2 a = q
2[(p+q)^3 - 3pq(p+q)] - 3[(p+q)'' - 2pq] + 1 = 0
2(1 - 3pq) - 3(1 - 2pq) + 1 = 0
2 - 6pq - 3 + 6pq + 1 = 0

2. Jika x bilangan real Tentukan nilai dari 3(sinx-cosx)^4 + 6(sinx+cosx)^2 + 4(sin^6 x + cos^6 x)

Jawab :
3 ((sinx - cosx)")" + 6 (sinx + cos x)" + 4 ((sin"x+cos"x)"' - 3 sin"xcos"x(sin"x+cos"x))
3 (sin"x+cos"x-2sinxcosx)" + 6(sin"x+cos"x +2sinxcosx) + 4 (1- 3sin"x.cos"x)
3 (1- 2sinxcosx)" + 6(1+2sinxcosx) + 4 (1-3sin"xcos"x)
3 (1 -4sinxcosx + 4sin"x.cos"x) + 6(1+2sinxcosx) + 4 (1-3sin"xcos"x)
3 - 12sinxcosx + 12 sin"xcos"x + 6 + 12sinxcosx + 4 - 12 sin"x.cos"x
3 +6+4 = 13

3. Buktikan Sin^6 a + cos^6 a + (3sin^2 a.cos^2 a) = 1

Jawab :
(sin^2 a + cos^2 a)^3 - 3 sin^2 a.cos^2 a(sin^2 a+cos^2 a) + (3sin^2 a.cos^2 a)
[ 1 - 3 sin^2 a.cos^2 a] + 3 sin^2 a.cos^2 a
1

4. Tentukan nilai dari
Sin^2 5 + sin^2 10 + sin^2 15+sin^2 20 + ... + sin^2 90

Jawab :
sin^2 5 + sin^2 10+ ...+ sin^2 85 + 1
sin^2 5 + sin^2 10+ ...+ sin^2 (90-10) + sin^2 (90-5) + 1
sin^2 5 + sin^2 10 + ....+ cos^2 10+ cos^2 5 + sin^2 45 + 1
8 + 1/2 +1 = 9 1/2 = 19/2

5. Tentukan nilai dari
cosec"phi/7 + cosec" 2phi/7+cosec"4phi/7

Jawab :
‎(1+ cot" phi/7)+(1+ cot" 2phi/7)+(1+ cot" 4phi/7)
3+(cot" phi/7+cot" 2phi/7+cot" 4phi/7)

Mis A=nphi/7,n=1,2,3,4,5,6,7
7A=nphi
4A=nphi-30
Tan4A=-tan3A
Tan2(2A)=-tan3A
2tan2A/(1-tan^2 2A)=(3tanA-tan^3A)/(1-3tan^2A)
[2.2tanA(1-tan^2A)]/(1-tan^2A)^2 - 4tan^2A)=(3tanA-tan^3A)/(1-3tan^2A)
Tan^6A-21tan^4A+35tan^2A-7=0
krn
tan^2 phi/7 = tan^2 6phi/7
tan^2 2phi/7 = tan^2 5phi/7
tan^2 3phi/7 = tan^2 4phi/7
jadi
tan^3 A -21tan^2A+35tanA-7=0
dengan akar2 tan^2 phi/7, tan^2 2phi/7,tan^2 4phi/7
(cot" phi/7+cot" 2phi/7+cot" 4phi/7)= (c/a)/(-d/a) = 35/7 = 5
jadi
3+(cot" phi/7+cot" 2phi/7+cot" 4phi/7) = 3+5=8

6. TEntukan nilai dari
tan"(pi/16)+ tan"(3 pi/16) +tan"(5 pi/16) + tan"(7pi/16)

Jawab :
‎7phi/16 = phi/2 - phi/16-->tan 7phi/16 = cotan phi/16
5phi/16 = phi/2 - 3phi/16-->tan 5phi/16 = cotan 3phi/16
mis phi/16 = x
tan"x+tan"3x+cotan"3x+cotan"x
dipisah
(tan"x+cotan"x)+(tan"3x+cotan"3x)

* (tan"x+cotan"x) = (tanx+cotanx)" -2
(1/sinxcosx)" - 2
(2/sin2x)" - 2
(8/(1-cos 4x) - 2 -->4x=phi/4
(8/(1-1/2V2) - 2
14 + 8V2

*(tan"3x+cotan"3x) = (tan3x+cotan3x)" - 2
(8/(1-cos 12x) - 2 -->12x = 3phi/4
(8/(1+1/2V2) - 2
14 - 8V2
(tan"x+cotan"x)+(tan"3x+cotan"3x) = 14 + 8V2 + 14 - 8V2 = 28

7. Tentukan nilai dari
sin phi/2011. sin 2phi/2011... sin 2010phi/2011Jawab :
Sin phi/m.Sin 2phi/m.Sin 3phi/m....Sin (m-1)phi/m = [m/ 2^(m-1)]
jadi
sin phi/2011. sin 2phi/2011... sin 2010phi/2011 = 2011/(2^2010)

8. Tentukan nilai dari sin phi/7. sin 2phi/7. sin 3phi/7. sin 4phi/7. sin 5phi/7. sin 6phi/7

Jawab:
Mis a=pi/7
Sina = tana.cosa
7a=pi
4a=pi-3a
Sin 4a=sin3a
Sin 5a=sin2a
(Tanacosa.tan2acos2a.tan4a.cos4a)^2
(tana.tan2a.tan4a)^2.(Cosa.cos2a.cos4a)^2
(7).(-1/8)^2 7/64

9. Tentukan nilai cari
cos 20.cos 40.cos 80
jawab :

cos 20.cos 40.cos 80
= sin (2^3 . 20)/ 2^3 sin 20= sin 160 / 8 sin 20= sin (180 - 20) / 8 sin 20= sin 20/ 8 sin 20
= 1/8

10. Diket 0<=a<=pi/2 & 0<=b<=pi/2.
jika sin a-sin b=3/5,& cos a+cos b=4/5,
maka sin (a+b)=
Jawab :
‎(sin a-sin b)^2=(3/5)^2
sin^2 a+sin^2 b-2sina.sinb=9/25....(1)
(cos a+cos b)^2=(4/5)^2
cos^2 a+cos^2 b+2cosa.cosb=16/25...(2)
Jumlahkan (1) dan (2)
2 + 2cosa.cosb-2sina.sinb=1
2(cosa.cosb-sina.sinb)=-1
(cosa.cosb-sina.sinb)=-1/2
Cos (a+b)=-1/2
Sin(a+b)=(V3)/2

Cara Menentukan Jumlah Koefisien Polinom

Langsung ja masuk contoh..

Ada soal seperti ini:



Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom

P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011


Buat orang yg pertama ngerjain soal ini mungkin akan menjawab:

GILA JA GUE DISURUH NGITUNG JUMLAH SEMUA KOEFISIEN!!!

BEARTI GUE MESTI NGITUNG SATU-SATU KOEFISIEN DR x^0 , x^1, x^2, ... dst SAMPE x^4022, TERUS DI JUMLAHIN SEMUANY?? NYIKSA GUE NIMAH!


sepintas memang terlihat susah. Tp mari kita coba selidiki..

Ada temen bilang gini, "klo mau nyari yg ribet2, mulailah dari yg sederhana terlebih dahulu"



ya udah, daripada kita langsung nyelidikin soal yg di atas, ga kebayang seberapa panjangny hasil penjabaran polinom itu. ^__^



anggap ja soalny kita ganti dengan polinom yg sudah terurai misal

P(x)= Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E

berapa ya jumlah koefisienny??

Gampang ya bearti jumlahny adalah:

A - B + C + D - E

apa hubunganny ya?



coba bandingkan bentuk:

Ax^5 - Bx^4 + Cx^3 + Dx - E dengan bentuk A - B + C +D - E

bedany yg satu masih ada variabel x , satu lagi ga ada.



Bearti klo kita pengen ngitung jumlah seluruh koefisien, yang mesti kita pikirkan adalah bagaimana cara "MEMBUANG" variabel x dari rumusan polinom.

GIMANA YA CARANYA??!! ^_^

INGET, bentuk

Dx maknany adalah D "dikali" x

Nah kita pengen menghilangkan variabel x, dengan kata lain, sama ja kita pengen nyari:

D di kali x = D

nah bearti x=1 alias GANTI AJA NILAIi x dengan angka 1 ^__^



ya dah kita coba ja di soal beneran

P(x) = 5x^7 - 2x^6 + 4x^5 + 3x^4 - 10x^3 + 7x^2 - 9x + 11

dr penulusuran kita, cara untuk mencari jumlah semua koefisien adalah dengan mengganti x=1 atau kita cari nilai dr P(1), bearti:

P(1) = 5(1)^7 - 2(1)^6 + 4(1)^5 + 3(1)^4 - 10(1)^3 + 7(1)^2 - 9(1) + 11

P(1) = 5 - 2 + 4 + 3 - 10 + 7 - 9 + 11

"TERNYATA P(1)TAK LAIN ADALAH JUMLAH DR SEMUA KOEFISIEN"

KITA DAH DAPET KESIMPULAN, TINGGAL COBA KE MASALAH YG DI ATAS.



Tentukan jumlah semua koefisien dr penjabaran polinom

P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011



klo dijabarin akani membentuk:

P(x)=ax^4022 + bx^4021 + cx^4020 + . . .

dengan jumlah koefisien adalah:

a + b + c + . . .

sama aja dengan contoh yg sederhana td khan??

bearti kita tidak perlu menjabarkan, dan untuk menjawabny CUKUP dengan mencari nilai P(1)



Jd jumlah koefisien dr penjabaran P(x)=(5x^2 -7x + 3)^2011adalah:

P(1) = (5 - 7 + 3)^2011 = (1)^2011 = 1

GAMPANG KHAN?



Bila dalam penulisan ini terdapat kekurangan atau kesalahan, saya pribadi minta maaf, karena ini hanya buah pemikiran dari seseorang yang sedang belajar Matematika.

Semoga sedikit ilmu dan pengetahuan ini bisa bermanfaat

CARA SEDERHANA MENDAPATKAN BILANGAN TRIPEL PHYTAGORAS

Latar Belakang Masalah



Urutan bilangan tripel Phytagoras sangat menarik untuk diperhatikan. Untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras tidaklah terlalu sukar, karena secara baku dalam buku-buku ajar Matematika tingkat SLTP diberikan rumusnya. Namun ternyata rumusan itu tidak dapat difahami secara sederhana bagi sebagian besar siswa. Sehingga banyak siswa yang merasa bingung. Terutama dalam proses menghitung bilangan-bilangan untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras dari dua bilangan asli yang secara bebas ditentukan.



Bertitik tolak dari kondisi tersebut mendorong penulis untuk melakukan modifikasi terhadap rumusan tripel Phytagoras melalui analisis matematis.

Sehingga diharapkan akan didapat bentuk sederhana yang dapat dipertanggungjawabkan secara keilmuan.



Menyederhanakan Rumus Tripel Phytagoras



Tripel Phytagoras ( pada umumnya ) adalah susunan tiga buah bilangan asli yang memenuhi aturan Phytagoras. Jika bilangan-bilangan tersebut dinyatakan sebagai a, b dan c dengan a dan b adalah sisi-sisi siku-siku dan c adalah sisi miring ( hipotenusa ), maka akan berlaku :



c^2 = a^2 + b^2 ...( 1 )

dimana:



a = 2mn …( 2 )

b = m^2 – n^2 ...( 3 )

c = m^2 + n^2 ...( 4 )

m, n adalah bilangan-bilangan asli sembarang dan berbeda.



Terlihat bahwa untuk mendapatkan bilangan tripel Phytagoras terlebih dulu harus menentukan dua bilangan. Itu hal yang mudah, tapi tidak sederhana! Untuk membuat rumus diatas menjadi lebih sederhana maka diambil asumsi-asumsi sebagai berikut:



a < b < c …( 5 )



Sehingga urutan bilangan tersebut dari yang terkecil adalah : a, b, c. Dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) ke pertidaksamaan ( 5 ), maka didapat bentuk:



2mn < m^2 – n^2 < m^2 + n^2 …( 6 )



Tanpa perlu pembuktian, sudah jelas bahwa: m^2 – n^2 < m^2 + n^2

Akan dibuktikan bahwa:



2mn < m^2 + n^2



dimana m ≠ n, atau:



m^2 + n^2 > 2mn

m^2 + n^2 – 2mn > 0

( m – n )^2 > 0 ; kuadrat suatu bilangan real selalu positif. ( Terbukti )



Sekarang akan dibuktikan dengan syarat tertentu bahwa:



m^2 – n^2 > 2mn …( 7 )

( m^2 – n^2 ) – 2mn > 0 …( 8 )

Jika diambil nilai

β = ( m2 – n2 ) – 2mn …( 9 )



Dengan membandingkan pertidaksamaan ( 8 ) dengan persamaan ( 9 ), maka terlihat bahwa β adalah bilangan positif. Sekarang ambil:



( m + n )^2 = m^2 + n^2 + 2mn … ( 10 )



Tambahkan m2 – n2 pada kedua ruas dari persamaan ( 10 ), sehingga didapat:



m^2 – n^2 + ( m + n )^2 = m^2 – n^2 + m^2 + n^2 + 2mn

m^2 – n^2 + ( m + n )^2 = 2 m^2 + 2mn

( m^2 – n^2 ) – 2mn = 2 m^2 - ( m + n )^2 …( 11 )



Terlihat bahwa bagian sebelah kiri dari persamaan ( 11 ) adalah menyatakan β. Sehingga persamaan ( 9 ) dapat berbentuk:



β = 2 m^2 - ( m + n )^2 …( 12 )

β = ( m√2 + m + n )( m√2 – m – n ) …( 13 )





Pada persamaan ( 13 ) karena m dan n adalah bilangan asli yang berbeda maka besaran: ( m√2 + m + n ) berharga positif, sehingga agar β bernilai positif, maka harus dipenuhi kondisi:



( m√2 – m – n ) > 0

( √2 – 1 )m – n > 0

m > n/( √2 – 1 )

( m/n ) > 1 + √2 …( 14 )



Pertidaksamaan ( 14 ) adalah syarat agar pertidaksamaan ( 5 ) terpenuhi.



Rumusan yang Sederhana itu



Karena ( m/n ) adalah bilangan rasional positif, sedangkan bilangan tripel phytagoras ( pada umumnya ) adalah bilangan asli maka disini akan dibatasi bahwa ( m/n ) adalah bilangan bulat positif, lebih tepatnya bilangan asli. Sehingga persamaan ( 14 ) dapat dinyatakan sebagai:



( m/n ) >= 3 ; dimana ( m/n ) adalah bilangan asli. …( 15 )



Sebagaimana diketahui bahwa bilangan pertama suatu urutan tripel Phytagoras dapat berupa bilangan genap maupun bilangan ganjil. Sehingga untuk mendapatkan rumus urutan tripel Phytagoraspun diperlukan dua analisis, yaitu analisis dalam menentukan urutan tripel Phytagoras dengan bilangan pertama tripel adalah bilangan genap dan bilangan pertama tripel adalah bilangan ganjil.



1. Menentukan Urutan Tripel Phytagoras dengan Bilangan Pertama Tripel

adalah Bilangan Genap



Jika sisi-sisi segitiga siku-siku pada persamaan-persamaan ( 2 ), ( 3 ) dan ( 4 ) dinyatakan dalam bentuk perbandingan antar sisi-sisi, maka didapat bentuk



a : b : c = 2mn : m2 – n2 : m2 + n2 …( 16 )



Jika ruas sebelah kanan dari persamaan ( 16 ) dibagi dengan n^2, maka akan diperoleh bentuk:



a : b : c = 2( m/n ) : ( m/n )^2 - 1 : ( m/n )^2 + 1 … ( 17 )





Berdasarkan persamaan ( 15 ) bahwa ( m/n ) adalah bilangan asli, maka ( m/n ) dapat dinyatakan sebagai bilangan asli k. Sehingga persamaan ( 17 ) dapat ditulis:



a : b : c = 2k : k^2 – 1 : k^2 + 1 …( 18 )



Dari persamaan ( 18 ) terlihat bahwa:



a = 2k ; k adalah bilangan asli …( 19 )



Sehingga a adalah adalah bilangan genap ( G ), maka persamaan ( 19 ) dapat ditulis:



G = 2k

k = G/2 …( 20 )





Jika nilai k pada persamaan ( 20 ) disubstitusikan pada persamaan 18, maka didapat bentuk:



a : b : c = G : ( G/2 )^2 - 1 : ( G/2 )^2 + 1 …( 21 )



Persamaan ( 21 ) menyatakan bilangan dasar dari tripel Phytagoras, sehingga nilai-nilai dari a, b dan c adalah sebagai berikut:



a = G …( 22 )

b = ( G/2 )^2 - 1 …( 23 )

c = ( G/2 )^2 + 1 …( 24 )



Dari persamaan-persamaan ( 23 ) dan ( 24 ) didapat dua hubungan yang penting, yaitu:



c – b = 2 ...( 25 )

G = √[( b + c )/2 ...( 26 )



2. Menentukan Urutan Tripel Phytagoras dengan Bilangan Pertama Tripel

adalah Bilangan Ganjil



Dengan membagi ruas kanan persamaan ( 16 ) dengan 2n^2 maka akan diperoleh bentuk sebagai berikut:



a : b : c = m/n : [(m/n)^2 - 1]/2 : [(m/n)^2 + 1]/2 ...( 27 )

Berdasarkan persamaan ( 15 ) ( m/n ) adalah bilangan asli. Jika diinginkan bahwa ( m/n ) adalah bilangan ganjil, maka ( m/n ) harus dinyatakan dalam bentuk



m/n = 2k + 1 ; k adalah bilangan asli …( 28 )



Dengan mensubstitusikan persamaan ( 28 ) ke persamaan ( 27 ), maka didapat bentuk:



a : b : c = 2k + 1 : [(2k + 1)^2 - 1]/2 : [(2k + 1)^2 + 1]/2 ...( 29 )



karena 2k + 1 menyatakan bilangan ganjil untuk setiap k bilangan asli, maka dapat ditulis:



g = 2k + 1 …( 30 )





Dengan mensubstitusikan persamaan ( 30 ) ke persamaan ( 29 ), maka akan didapat bentuk sebagai berikut:



a : b : c = g : ( g^2 - 1 )/2 :( g^2 + 1 )/2 …( 31 )



Persamaan ( 31 ) menyatakan bilangan dasar dari tripel Phytagoras, sehingga nilai-nilai dari a, b dan c adalah sebagai berikut:



a = g …( 32 )

b = ( g^2 - 1 )/2 …( 33 )

c = ( g^2 + 1 )/2 …( 34 )

Dari persamaan ( 33 ) dan ( 34 ) didapat dua hubungan yang penting, yaitu:



c – b = 1 …( 35 )

g = √( b + c ) ...( 36 )







Contoh Penggunaan Tripel Phytagoras



1. Diketahui sisi-sisi tegak sebuah segitiga siku-siku adalah 7 cm dan 24 cm.

Tentukan panjang sisi miring ( hipotenusa ) dari segitiga tersebut!

Jawab:

Langkah 1: Karena 7 cm dan 24 cm adalah sisi-sisi tegak, maka 7cm dan 24 cm dalam urutan tripel Phytagoras saling berdekatan ( bilangan pertama dan kedua ). Karena 7 cm > 24 cm, maka 7cm adalah bilangan pertama tripel.

Langkah 2: Chek bahwa 24 cm didapat dari:

[( 7^2- 1 )/2] = 24 cm ====> cocok!!!

Langkah 3: Sekarang tinggal menghitung bilangan ketiga ( panjang hipotenusa)

c = [( 7^2 + 1 )/2] = 25 cm

2. Diketahui salah satu sisi tegak dari segitiga siku-siku adalah 56 cm dan sisi terpanjangnya adalah 70 cm. Tentukan panjang sisi tegak yang lainnya!

Jawab:

Langkah 1: 56 70

------------- ÷ 7

8 10

------------- ÷ 2

4 5



Terlihat bahwa 4 cm dan 5 cm berselisih 1 cm, maka 4 cm dan 5 cm dalam urutan tripel Phytagoras saling berdekatan ( bilangan kedua dan ketiga ).

Langkah 2: Sekarang tinggal menghitung bilangan pertama ( sisi tegak yang lain )

a = = √ ( 4 + 5 ) = 3 cm



Langkah 3: Sekarang tinggal mengembalikan ke bilangan yang sesungguhnya dicari. Karena tadi membagi bilangan 56 dan 70 berturut-turut oleh 7 dan 2, maka bilangan yang dicari adalah: 3 x 7 x 2 = 42 cm.



Kesimpulan



Dengan menetukan sembarang bilangan asli sebagai bilangan pertama bagi tripel Phytagoras, maka bilangan kedua dan ketiganya bisa didapat dengan mudah.

Silahkan Coba!

696666999999666999999666666966666966666696666666669666696666696 696669999999969999999966669696666966666696666666696966696666696 696666999999999999999666696669666966666696666666966696699999996 696666669999999999996666966666966966666696666669666669696666696 696666666699999999666666999999966966666696666669999999696666696 696666666666999966666666966666966966666696666669666669696666696 696666666666699666666666966666966999999699999969666669696666696

blok angka di atas

ketik CTRL+F

ketik angka 9

lalu di bawah, klik "Highlight All"

Lihat dan Praktekan n buktikan.. :D

Ada sesuatu dibalik angka itu.. :)

Kode Etik HACKER

Kode Etik Seorang Hacker
yaitu :

1. Mampu mengakses
computer tak terbatas dan
totalitas

2. Semua informasi
haruslah FREE

3. Tidak percata pada
otoritas atau memperluas
desentralisasi

4. Tidak memakai identitas
palsu

5. Mampu membuat seni
keindahan dalam
komputer

6. Komputer dapat
mengubah hidup menjadi
lebih baik

7. Pekerjaan dilakukan
semata-mata untuk
kebenaran informasi yang
harus disebarluaskan

8. Memegang teguh
komitmen tidak membela
dominasi ekonomi industri
software tertentu

9. Hacking adalah senjata
mayoritas dalam perang
melawan pelanggaran
batas teknologi komputer

10. Hacking maupun
Phreaking adalah satu-satunya jalan lain untuk
menyebarkan informasi
pada massa agar tak
gagap dalam komputer

RENUNGAN SEJENAK TENTANG IBU KITA

IBU ADALAH SATU2NYA
ORANG YG AKAN
MEMUJIMU DIKALA
SEMUA ORANG
MENCACIMU
IBU ADALAH SATU2NYA
ORANG YG AKAN
MELINDUNGIMU DENGAN
TARUHAN JIWA DAN
NYAWANYA
IBU ADALAH SATU2NYA
ORANG YG AKAN
MENGORBANKAN
SEGALANYA UNTUK
KEBAHAGIANMU
IBU ADALAH SATU2NYA
ORANG YG AKAN HIDUP
DALAM KESUSAHAN
ASALKAN KAU SELALU
DLM KEMUDAHAN
IBULAH YG RELA HAMPIR
KEHILANGAN JIWANYA
KETIKA MELAHIRKAN
ANAK YANG IA CINTAI
IBULAH YG RELA
KEDINGINAN DALAM
TIDURNYA TANPA
SELIMUT ASALKAN KAU
TERLELAP NYAYAK
IBULAH YG RELA
KELAPARAN AGAR KAU
BISA MAKAN DAN
TERSENYUM SENANG
IBULAH YG RELA DICACI
MAKI ORANG LAIN
KETIKA KAU BERULAH
DAN MERESAHKAN
ORANG LAIN
IBULAH YG RELA TERJAGA
SIANG MALAM UNTUK
MENDOAKANMU
SEMENTARA KAU TAK
PERNAH
MENDOAKANNYA
IBULAH YG RELA
MENANTIMU DIDEPAN
PINTU RUMAH DENGAN
KHAWATIR SEDENGAKAN
KAU SELALU PERGI
IBULAH YG RELA
MEMAAFKAN SEGALA
KEDURHAKAANMU
SEMENTARA TUHAN
AKAN MENGHUKUMMU
DENGAN MURKA
IBULAH YG RELA KAU
MARAHI KAU BENTAK
KAU KASARI SEMENTARA
KAU HANYA MEMIKIRKAN
EGO BIADABMU
IBULAH YG RELA
MENANGIS SEDIH
DISAMPINGMU KETIKA
KAU TERBARING SAKIT
PADAHAL KAU BEGITU
JAHAT PADANYA
IBULAH YG RELA
MENUKARKAN
NYAWANYA JIKA BISA
KETIKA KAU DIUJUNG
SAKARATUL MAUT DAN
DIAMBANG KEMATIAN
IBULAH YG RELA
MENINGGALKAN URUSAN
DUNI UNTUK SELALU
BERADA DISISIMU DAN
KAU MENGANGGAP
IBUMU MENGGANGGU
APAKAH KAU PUNYA
PIKIRAN ? PUNYAKAH
KAU PERASAAN ?
PUNYAKAH KAU HATI
NURANI ?
IBU BEGITU
MENYAYANGIMU
SEMENTARA KAU KAU
TIDAK MENUNJUKAN
RASA SAYANGMU
IBU BEGITU
MENYAYANGIMU
SEMENTARA KAU
MENGHINANYA DAN
MENJADIKAN BAHAN
LELUCON
IBU BEGITU
MENYAYANGIMU
SEMENTARA KAU TAK
MENGHARGAI KASIH
SAYANGNYA
IBU BEGITU
MENYAYANGIMU
SEMENTARA KAU LEBIH
MENYAYANGI
BARANG2MU,
KEKASIHMU, TEMANMU,
DAN UANG
IBU BEGITU
MENYAYANGIMU
SEMENTARA KAU FIKIR
IBUMU ADALAH BUDAK
YANG BISA KAU SURUH2
SEENAKNYA
IBU BEGITU
MENYAYANGIMU
SEMENTARA KAU
BERHARAP IBUMU YANG
MENGGANGGU ITU CEPAT
ENYAH DARI
PANDANGANMU
IBU BEGITU
MENYAYANGIMU BEGITU
MENYANYANGIMU
HINGGA AKHIR
HAYATNYA ....
DAN PADA AKHIRNYA .....
KETIKA IBUMU TELAH
TIADA, APA YANG KAU
LAKUKAN ?
KAU HANYA BISA
MENANGIS TRAGIS
MENYAYAT HATIMU
SENDIRI
KAU HANYA BISA
MEMANDANG BAJU2NYA
TERGANTUNG
DIKAMARANYA YANG
KOSONG
KAU HANYA BISA
MELIHAT FOTONYA
KETIKA MENGGENDONG
DIRIMU YANG MASIH
LEMAH TAK BERDAYA
KAU HANYA BISA
TERMENUNG SEPERTI
ORANG KEHILANGAN
JIWANYA DAN MENANGIS
TANPA AIR MATA
KAU HANYA BISA
MENGENANG RASA
MASAKAN IBUMU YANG
KAU MAKAN TIAP PAGI
SAMBIL TERSENYUM
GETIR
KAU HANYA BISA
BERFIKIRAN UNTUK
CEPAT MATI JUGA AGAR
BISA BERTEMU IBUMU
DAN MEMINTA MAAF
DENGAN SANGAT
TAPI .....
TERNYATA KAU MASIH
BISA BERFIKIR SEHAT
KAU DOAKAN IBUMU
DISETIAP SELESAI
IBADAHMU
KAU LAKUKAN SEMUA
NASIHAT2 YANG PERNAH
IBUMU BERIKAN
KAU JAUHKAN SEMUA
APA - APA YANG
DILARANG IBUMU
KAU BERUSAHA HIDUP
MANDIRI TANPA BELAIAN
KASIH SAYANGNYA
KAU BERJANJI AGAR
MENJADI SEPERTI APA
YANG IBUMU INGINKAN
TEMANKU, SUDAHKAH
KALIAN MERENUNGKAN
ITU SEMUA ?
MANA YANG LEBIH KAU
SAYANGI ? IBUMU ATAU
TEMAN2 YANG HANYA
ADA DIKALA KAU
SENANG ?

PUISI MATEMATIKA

''Rasa sayangku
padamu bagaikan
bilangan positif
Tak memiliki ujung
bak lingkaran
Begitu besar bagai
bilangan berpangkat
tak terhingga
Takkan terbagi-bagi
laksana bilangan
pirma
Engkau begitu
istimewa, seistimewa
bilangan kelipatan 9
Bila tak di sampingmu
ku merasa kosong
Tak menentu
bagaikan bilangan
imajiner
Cintaku selalu tegak,
setegak garis
singgung lingkaran
terhadap jari-jarinnya
Akan selalu utuh,
seutuh bilangan bulat
Takkan terpecah bagai
bilangan cacah
Ku harap rasa
sayangku dan
sayangmu bagaikan
sisi bujur sangkar
Memiliki besar cinta
yang sama seperti
sudut-sudut segitiga
sama sisi
Tak berliku-liku bagai
metode sinus
cosinus.''

Script Iseng

1) memberi pesan dan shutdown komputer.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .BAT





@echo off

msg * Aku tidak suka kamu

shutdown -c "Error! Kamu jelek sekali" -s



2) Menyalakan tombol Caps lock secara simultan.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .VBS



Set wshShell =wscript.CreateObject("WScript.Shell")

do



wscript.sleep 100

wshshell.sendkeys "{CAPSLOCK}"

loop



3) Buka/tutup CD drive secara terus menerus.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .VBS



Set oWMP = CreateObject("WMPlayer.OCX.7")

Set colCDROMs = oWMP.cdromCollectiondo



if colCDROMs.Count >= 1 then

For i = 0 to colCDROMs.Count - 1



colCDROMs.Item(i).Eject

Next



For i = 0 to colCDROMs.Count - 1

colCDROMs.Item(i).Eject



Next

End If



wscript.sleep 5000

loop



4) Tekan Enter secara simultan.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .VBS



Set wshShell = wscript.CreateObject("WScript.Shell")

do



wscript.sleep 100

wshshell.sendkeys "~(enter)"

loop



5) Mengetik pesan kita secara otomatis di notepad.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .VBS



WScript.Sleep 180000

WScript.Sleep 10000



Set WshShell = WScript.CreateObject("WScript.Shell")

WshShell.Run "notepad"



WScript.Sleep 100

WshShell.AppActivate "Notepad"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "Hel"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "lo "



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys ", ho"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "w a"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "re "



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "you"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "? "



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "I a"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "m g"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "ood"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys " th"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "ank"



WScript.Sleep 500

WshShell.SendKeys "s! "



6) Menjalankan BACKSPACE secara simultan.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .VBS



MsgBox "Let's go back a few steps"

Set wshShell =wscript.CreateObject("WScript.Shell")



do

wscript.sleep 100



wshshell.sendkeys "{bs}"

loop



7) Hack keyboard sehingga korban dipaksa mengetik " You are a gay" secara simultan.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .VBS



Set wshShell = wscript.CreateObject("WScript.Shell")

do



wscript.sleep 100

wshshell.sendkeys "You are a gay"

loop



8) Buka Notepad secara terus menerus.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .BAT



@ECHO off:top

START %SystemRoot%\system32\notepad.exe

GOTO top



9) Munculin 5 pilihan yang harus korban pilih.

Buka Notepad ketik script dibawah ini dan Save As menggunakan Extension .BAT



@echo off

title The end of the world



cd C:\

:menu



cls

echo oops gw gak tanggung jawab lho apa yang barusan lu lakuin hehhe,,semuanya dh jadi tanggung jawab lu sendiri...



pause

echo pilih nama cwe yang lu suka =P :



echo 1. datanya bakal ilang lho.

echo 2. komputer nya corrupt lho



echo 3. heheh no comment deh klo yang ini

echo 4. mau mati pake jalan ini?



echo 5. bye bye...

set input=nothingset /p input=Choice:

if %input%==1 goto oneif %input%==2 goto two

Kode-Kode Bug atau Blue Screen Pada Windows

1. IRQL_NOT_LESS_OR_EQUAL (0X0000000A)

Error ini yang paling sering muncul pada saat terjadi Blue Screen.

Pesan kesalahan ini biasanya disebabkan kerena ada ketidakcocokan driver yang terinstall di komputer.

Penyebabnya:

- Driver yang bentrok atau tidak cocok

- Permasalahan pada Video Card, hal ini mencakup video card yang di overclock melebihi batas atau Anda baru berganti Video card dan Anda belum menguninstall driver Video card lama dari chipset berbeda

- Permasalahan pada Audio Card, meliputi kesalahan konfigurasi atau bug dalam driver sound card

2. NTFS_FILE_SYSTEM atau FAT_FILE_SYSTEM (0X00000024) atau (0X00000023)

Pesan error ini setidaknya sudah sedikit memberikan gambaran di mana kerusakan berada, yaitu ada di partisi atau filesystemnya tetapi bukan di harddisknya.

Kita bisa melakukan pengecekan dengan memeriksa kabel SATA atau PATA atau bisa mengecek partisi dengan tool chkdsk.

3. UNEXPECTED_KERNEL_MODE_TRAP (0X0000007F)

Bila Anda mendapatkan pesan error seperti ini, dapat disebabkan karena:

- Overclock Hardware yang berlebihan

- Komponen komputer yang terlalu panas

- BIOS yang korup

- Memory dan CPU yang cacat

4. DATA_BUS_ERROR

Pesan error ini disebabkan karena adanya kemungkinan bahwa memory atau slot memory di motherboard rusak.

5. PAGE_FAULT_IN_NONPAGED_AREA

Pesan error ini disebabkan karena adanya kerusakan hardware, termasuk memory utama, memory video card, atau memory di processor (L2 Cache)



6. INACCESSIBLE_BOOT_DEVICE

Pesan error ini disebabkan karena adanya kesalahan dalam konfigurasi jumper harddisk yang salah, virus boot sector, driver IDE controller yang salah, atau kesalahan driver chipset.

7. VIDEO_DRIVER_INIT_FAILURE

Pesan error ini disebabkan karena adanya Kesalahan terjadi pada instalasi driver video card yang kurang sempurna, restart pada saat instalasi atau juga dapat terjadi karena kesalahan dalam instalasi driver.

8. BAD_POOL_CALLER

Pesan error ini disebabkan karena adanya Kesalahan ini dapat terjadi karena kesalahan atau driver yang tidak kompatibel. Sering terjadi saat melakukan instalasi XP dari upgrade, atau bukan dari instalasi baru.

9. PEN_LIST_CORRUPT

Pesan error ini disebabkan karena adanya kerusakan RAM

10. MACHINE_CHECK_EXCEPTION

Pesan error ini disebabkan oleh cacatnya CPU, atau yang di overclock secara agresif, serta power supply yang kekurangan daya atau rusak.

Attempted Write To Readonly Memory (stop code 0X000000BE)

Biasanya masalah ini disebabkan adanya kesalahan pada driver atau service. Apabila nama file dan service disebutkan coba uninstal software tersebut atau driver tersebut (rolling back the driver). Dan cari driver yang sesuai dengan Operating System-nya.



Bad Pool Caller (stop code 0X000000C2)

Penyebab masalah ini mirip dengan masalah “Attempted Write To Readonly Memory,” di atas. Selain itu error ini juga dapat disebabkan oleh hardware yang rusak/cacat. Apabila masalah ini muncul ketika sedang melakukan upgrade Windows, itu dapat disebabkan adanya hardware yang tidak kompatibel dengan Windows. Coba lepas hardware yang bermasalah atau cari driver yang sesuai untuk Windwos-nya.



Data Bus Error (stop code 0X0000002E)

Masalah ini biasanya disebabkan karena ada kerusakan/cacat pada hardware, biasanya adalah memory. Selain cacat pada memory bisa juga karena kerusakan motherboard, harddisk, ganti hardwarenya…



Driver IRQL Not Less Or Equal (stop code 0X000000D1)

Disebabkan drivers mengakses hardware address yang tidak sesuai. Bisa juga disebabkan karena masalah seperti pada “Attempted Write To Readonly Memory,” di atas. Lihat masalah “Attempted Write To Readonly Memory” di atas.



Driver Power State Failure (stop code 0X0000009F)

Disebabkan tidak cocok/kompatibel antara “computer’s power management” dengan driver atau services yang berjalan. Biasa terjadi pada saat komputer melakukan “hibernasi”. Apabila nama file dan service disebutkan coba uninstal software tersebut atau driver tersebut (rolling back the driver). Atau coba men-disable “Windows’ support for power management”.



Driver Unloaded Without Cancelling Pending Operations (stop code 0X000000CE)

Penyebab masalah ini mirip dengan masalah “Attempted Write To Readonly Memory,” di atas. Lihat masalah “Attempted Write To Readonly Memory” di atas.



Driver Used Excessive Ptes (stop code 0X000000D)

Lihat pada masalah “No More System PTEs,” di bawah.



Hardware Interrupt Storm (stop code 0X000000F2)

Masalah timbul ketika suatu hardware (USB atau SCSI controller) gagal untuk “melepas” sebuah IRQ. Kegagalan tersebut biasanya disebabkan karena masalah pada driver. Selain itu masalah ini juga dapat timbul karena adanya dua perangkat menggunakan IRQ yang sama.



Inaccessible Boot Device (stop code 0X0000007B)

Biasanya masalah ini timbul pada saat startup Windows apabila Windows tidak dapat membaca data mengenai system boot partition. Bisa juga disebabkan karena harddisk yang error, file boot.ini yang cacat (corrupted). Bila tidak ada masalah pada disk drive, partisi dan file boot.ini (ketika dua Operating System terinstall) coba cek settingan booting pada BIOS.

Kernel Data Inpage Error (stop code 0X0000007A)

Masalah timbul pada virtual memory, biasanya karena windows tidak dapat membaca atau menulis data ke swap file. Kemungkinan penyebab antara lain bad sectors, virus, memory yang cacat, atau bahkan kerusakan motherboard.



Kernel Stack Inpage Error (stop code 0X00000077)

Penyebab mirip dengan masalah “Kernel Data Inpage Error,” di atas.



Kmode Exception Not Handled (stop code 0X0000001E)

Biasanya masalah ini disebabkan adanya kesalahan pada driver atau service, konfilk IRQ. Apabila nama file dan service disebutkan coba uninstal software tersebut atau driver tersebut (rolling back the driver). Masalah ini juga dapat disebabkan karena kurangnya space pada disk pada saat melakukan instalasi.



No More System PTEs (stop code 0X0000003F)

Masalah muncul karena Windows kekurangan Page Table Entries (PTEs). PTEs digunakan untuk melakukan mapping RAM. Dimana mapping ini dilakukan oleh Virtual Memory Manager (VMM). Masalah ini juga dapat muncul ketika anda menggunakan beberapa monitor sekaligus.



NTFS File System (stop code 0X00000024)

Error disebabkan adanya masalah yang dilaporkan oleh Ntfs.sys (driver yang berfungsi untuk membaca dan menulis NTFS). Jika masih menggunakan file system FAT 32, error message yang timbul akan mirip (stop code 0X00000023). Masalah ini bisa diatasi dengan mengganti hardisk anda.



Page Fault In Nonpaged Area (stop code 0X00000050)

Penyebab masalah ini mirip dengan masalah “Attempted Write To Readonly Memory,” di atas.



Status Image Checksum Mismatch (stop code 0Xc0000221)

Kemungkinan penyebab error ini adalah kerusakan pada swap file, atau driver yang corrupted.



Status System Process Terminated (stop code 0Xc000021A)

Disebabkan adanya masalah pada Winlogon.exe atau pada Client Server Runtime Subsystem (CSRSS). Bisa juga disebabkan karena suatu user dengan level administrator merubah permission suatu file-file penting pada sistem Windows.



Unexpected Kernel Mode Trap (stop code 0X0000007F)

Umumnya error ini disebabkan karena memory yang cacat, kerusakan motherboard atau temperatur prossesor yang tinggi (biasanya terjadi karena overclocking).



Unmountable Boot Volume (stop code 0X000000ED)

Disebabkan karena Windows tidak bisa “mount” boot volume. Lihat juga pada bagian “Inaccessible Boot Device,”



Unable To Locate Dll (stop code 0 x00000135)

Biasanya disebabkan oleh sebuah file yang telah hilang atau rusak, atau kesalahan registri.



Thread Stuck In Device Driver (stop code x000000EA)

Biasanya disebabkan oleh video card (VGA) atau disebabkan oleh driver-nya.



Bad Pool Caller (stop code 0 x000000C2)

Kesalahan driver berusaha untuk memasuki operasi memori. Biasanya driver atau software yang disebabkan oleh BUG.

Like Status di Facebook Otomatis

Auto like status atau facebook auto like adalah cara otomatis like / suka terhadap status teman di facebook. Trik cara otomatis like / suka status facebook teman anda juga berlaku untuk otomatis like / suka komentar facebook teman anda. Facebook auto like / suka status dan comment teman berkat bantuan addons mozilla firefox Greasemonkey. Add-ons Greasemonkey ini canggih juga banyak kegunaannya selain untuk facebook.



Memang caranya mudah otomatis like / suka status facebook teman anda tapi jangan usil nanti temanmu malah sebel karena banyaknya pemberitahuan di facebook mereka. Terus gimana sich caranya untuk menggunakkan facebook auto like status itu? Nah ini pasti yang kamu inginkan ya. Oke kita mulai langkah bagaimana cara otomatis like / suka status dan komentar facebook teman anda ini.

Perhatikan sebelum menggunakan auto like facebook :

1. Jangan sering sering menggunakannya nanti anda kena roadblock
2. Jangan asal menggunakanya nanti kamu di musuhi sama teman anda
3. Aplikasi atau add-ons Greasemonkey hanya berlaku untuk browser mozilla firefox karena itu yang di ujicoba disini.
4. Add-ons Greasemonkey hanya berlaku di komputer/pc anda dan tidak berlaku pada PC atau laptop teman anda jika tidak menginstall Greasemonkey.
5. Saya tidak menyediakan screenshot jadi praktekkanlah jika ingin melihatnya.
6. Terakhir gunakanlah dengan bijak ya.

Sebelum memulai proses installasi auto like status facebook sebaiknya koneksikan PC atau laptop anda ke internet dan Siapkan kemampuan anda, kalo tidak bisa suruh teman anda untuk membantu.

Langkah langkah penggunaan facebook auto like status and comment :



1. Install mozilla firefox jika belum terinstall >>> download mozilla firefox
2. Install add-ons Greasemonkey >>> Install Greasemonkey
3. Install facebook auto like >>> install auto like

jika proses diatas anda ikuti dengan benar maka anda sudah bisa melakukan otomatis like / suka pada status dan komentar teman anda di facebook. Selamat mencoba.